Knot Colouring ©

គំនូសតាងពីរក្នុងចំណោមបីខាងក្រោម

មិនដឹង

ទូហ្សុន-ស៊ីកូរ៉ា

8_19

អាចត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាទៅវិញទៅមកដោយមិនចាំបាច់កាត់ ខ្សែរចំណង ។

តើអ្នកគិតថាពួកគេជាអ្វី?

អ្នករៀនខាងក្រោមពីរបៀបប្រើពណ៌ដើម្បីប្រាប់ថាតើដ្យាក្រាមពីរជារបស់ ចំណង ផ្សេងគ្នា។ ដោយការសិក្សាលើពណ៌បី គេអាចមើលឃើញថាដ្យាក្រាមមួយណាដែលមិនអាចខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាទៅវិញទៅមក។
បើមិនដូច្នោះទេ លំដាប់ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបធ្វើឱ្យដ្យាក្រាម ទូហ្សុន-ស៊ីកូរ៉ាសាមញ្ញទៅជារង្វង់មួយ។

ភ័ស្តុតាងដែលថាដ្យាក្រាម ទូហ្សុន-ស៊ីកូរ៉ា គឺជាចំណុចមិនច្បាស់លាស់។

ការព្យាករណ៍បឋម

ចលនា Reidemeister 3

បន្ទាប់ពីចលនានិងលាតសន្ធឹង

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីចលនានិងលាតសន្ធឹង

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីចលនានិងលាតសន្ធឹង

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីចលនានិងលាតសន្ធឹង

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីចលនានិងលាតសន្ធឹង

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនាកាត់បន្ថយការឆ្លងកាត់

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនា Reidemeister 2

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនា Reidemeister 1

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនា Reidemeister 1

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនា Reidemeister 1

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ចលនា Reidemeister 1

បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទី

ដ្យាក្រាមដែលមិនចេះអក្សរ និង Tuzun-Sikora រួមជាមួយនឹងការខូចទ្រង់ទ្រាយផ្សេងទៀតជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់គណិតសាស្ត្រដូចគ្នា ក្នុងករណីនេះ unknot ។ តើគេអាចសម្រេចចិត្តដោយរបៀបណាថាតើដ្យាក្រាមពីរមិនអាចខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាទៅវិញទៅមកបានទេ ទោះបីវាធំប៉ុណ្ណាក៏ដោយ? ទ្រព្យសម្បត្តិដែលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅពេលដែលដ្យាក្រាមត្រូវបានខូច ត្រូវបានគេហៅថា 'invariant' (មិនប្រែប្រួល)។

ឧទាហរណ៏នៃ invariant គឺជាចំនួនតិចតួចបំផុតនៃការឆ្លងកាត់ដែលណាមួយនៃដ្យាក្រាមសមមូលជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់អាចមាន។ វិចារណញាណនេះពិបាករកណាស់ ព្រោះគេមិនអាចពិនិត្យមើលដ្យាក្រាមច្រើនគ្មានកំណត់។

ប៉ុន្តែអ្វីដែលអាចជាអថេរដែលអាចគណនាបានសម្រាប់ដ្យាក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ? វាពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលថាតើទ្រព្យសម្បត្តិណាដែលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងការខូចទ្រង់ទ្រាយនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់អាចខូចទ្រង់ទ្រាយដ្យាក្រាមតាមវិធីណាមួយដែលមនុស្សម្នាក់ចង់បាន។

ភាពមានពណ៌បីគឺជាអថេរ។

ដើម្បីពន្យល់វា យើងប្រើ strands ដែលជាផ្នែកនៃ knotline ដែលអាចគូរដោយមិនចាំបាច់លើកប៊ិច។ នៅច្រកឆ្លងកាត់នីមួយៗជួប 3 ខ្សែ មួយគឺឆ្លងកាត់និងមួយទៀតពីចំហៀង។ ដ្យាក្រាម knot មានបីពណ៌ ប្រសិនបើខ្សែនីមួយៗអាចត្រូវបានផ្តល់ពណ៌មួយក្នុងចំណោម 3 ពណ៌ ដូច្នេះនៅពេលឆ្លងកាត់នីមួយៗយើងមានពណ៌ 1 ឬ 3 មិនមែន 2 ពណ៌ទេ។ ការដាក់ពណ៌ទាំងអស់ជាមួយនឹងពណ៌តែមួយគឺតែងតែអាចធ្វើទៅបាន និងមិនរាប់បញ្ចូល។ យ៉ាងហោចណាស់ 2 ពណ៌ត្រូវប្រើនៅកន្លែងណាមួយ។

តើគំនូសតាងទាំង ៣ មួយណាអាចមានពណ៌បី?

Tri-colourability គឺជាវិចារណញាណខ្សោយ ព្រោះវាមានចំនួនព័ត៌មានតិចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន គ្រាន់តែបាទ/ចាស។ បំរែបំរួលនេះគ្រាន់តែអាចដាក់ knots ទាំងអស់ជាពីរក្រុម គឺ knots ដែលមានបីពណ៌ និង knots ដែលមិនមាន។

N - ភាពធន់នឹងពណ៌

យើងអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងអស់នៃនព្វន្ធម៉ូឌុលដោយការណែនាំមេគុណ k និងបង្កើតសមីការ ≡ ឡើងវិញជាសមីការធម្មតា។ ដើម្បីបង្រួមកំណត់ចំណាំ យើងប្រើ
'ចំនួនគត់' សម្រាប់ 'លេខទាំងមូល',
'pq' សម្រាប់ 'p ដង q',
'∃' សម្រាប់ 'មាន',
' : ' សម្រាប់ 'ជាមួយទ្រព្យសម្បត្តិ' និង
'A → B' សម្រាប់ 'ពី A តាម B' ។

បញ្ជាក់៖ ប្រសិនបើ ≡ b mod N និង c ≡ d mod N បន្ទាប់មក (a+c) ≡ (b+d) mod N

បញ្ជាក់៖ ប្រសិនបើ a ≡ b mod N បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំនួនគត់ m យើងមាន ma ≡ mb mod N

បញ្ជាក់៖ ប្រសិនបើ ≡ b mod (PQ) បន្ទាប់មក ≡ b mod P ។

a ≡ b mod (PQ)
→ ∃ integer k: a = b + k(PQ)
→ ∃ ចំនួនគត់ k: a = b + k(PQ)
→ a ≡ b mod P

ចុះទិសដៅផ្ទុយវិញ?

ហេតុអ្វីបានជាអាចជឿបានថាការបញ្ច្រាសមិនពិត?

នៅក្នុងសមីការ mod N ភាគីទាំងពីរនៃ ≡ អាចមានតម្លៃ N ផ្សេងគ្នា។ នៅក្នុងម៉ូឌុលសមីការ (NM) ភាគីទាំងពីរនៃ ≡ អាចមានតម្លៃខុសគ្នា NM ។ ដូច្នេះ relation mod (NM) ផ្ទុកពត៌មានច្រើនជាង relation mod N ។ ការបោះព័ត៌មានទៅឆ្ងាយដោយចេញពី mod (NM) ទៅ mod N គឺងាយស្រួល ប៉ុន្តែការបញ្ច្រាសនៃការបង្កើតព័ត៌មានចេញពីគ្មានអ្វីគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ និយាយដោយប្រយោល ក្នុងន័យនេះ សមភាពធម្មតាដោយប្រើ = គឺស្មើនឹង ≡ mod ∞(គ្មានកំណត់)។

ក្នុងនាមជាមតិយោបល់ចំហៀង នេះបើកលទ្ធភាពដែលថានៅក្នុងកម្មវិធីដែលដំណោះស្រាយពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនគត់ និងកន្លែងដែលមនុស្សម្នាក់កំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់សមីការដោយប្រើ '=' និងកន្លែងដែលមនុស្សម្នាក់ដឹងថាមានព្រំដែនខាងលើសម្រាប់តម្លៃដាច់ខាត។ នៃលេខនៅក្នុងដំណោះស្រាយនោះ យុទ្ធសាស្ត្រមួយអាចចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ mod N សម្រាប់ចំនួនបឋមតូចៗ N ហើយបន្ទាប់មកដើម្បីគណនាអត្តសញ្ញាណ mod N^2 បន្ទាប់មក mod N^4 និងបន្តរហូតដល់ថាមពលរបស់ N គឺ ធំជាងព្រំដែនខាងលើ គេដឹងសម្រាប់ដំណោះស្រាយ ហើយបន្ទាប់មកគេអាចទម្លាក់ mod ហើយមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដដោយប្រើ = .

វិធីសាស្រ្តបែបនេះដែលហៅថា ការលើករបស់ Hensel អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្វែរពហុនាមឯកវចនៈជាមុនសិនដោយគោរពតាមចំនួនបឋមតូចៗមួយចំនួន ហើយចុងក្រោយគឺលើសចំនួនគត់។

បញ្ជាក់៖ a + b ≡ ((a mod N) + (b mod N)) mod N

បញ្ជាក់៖ ab ≡ ((a mod N)(b mod N)) mod N

បញ្ជាក់: ប្រសិនបើ P(x,y,...) ជា polynomial ក្នុងអថេរ x,y,... បន្ទាប់មក P(x,y,...) ≡ P(x mod N),(y mod N),...) mod N

បញ្ជាក់: នៅក្នុងម៉ូឌុលគណិតម៉ូឌុលជាចំនួនចម្បង, ការបែងចែកដោយគត់ផ្តល់ឱ្យអ្នក integers ម្តងទៀត.

តើ ma ≡ mb mod N ស្មើ នឹង ≡ b mod N នៅ ពេល ណា ?

Theorem ដែល នៅ សល់ របស់ ចិន ។

ដូច ដែល បាន ពន្យល់ ពី មុន នៅ ក្នុង ៤. > ការណែនាំជាមួយនិយមន័យ > Reidemeister រំកិល Reidemeister 3 ល្មមគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តការបំលែងណាមួយនៃសរសៃ knot ។ ដូច្នេះដើម្បីក្លាយជាមនុស្សអវយកម្មម្នាក់ត្រូវបង្ហាញថាអចលនទ្រព្យមិនផ្លាស់ប្តូរក្រោម 3 ការផ្លាស់ប្តូរនេះទេ។

តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា Reidemeister ដែល ខ្ញុំ ផ្លាស់ទី មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?

តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា ការ ផ្លាស់ទី Reidemeister II មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?

តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា ការ ផ្លាស់ទី Reidemeister III មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?

ប្រសិន បើ មួយ មាន ពណ៌ មួយ ពណ៌ តើ ពណ៌ ផ្សេង ទៀត អាច ទទួល បាន អ្វី ពី វា សម្រាប់ ដ្យាក្រាម knot ?

តើពណ៌ mod 2 មានខ្លឹមសារឬទេ?

ចុះ ម៉ូដ ដែល មាន ពណ៌ (2N), i.e. modulo មួយ ចំនួន ស្មើ គ្នា?

តើ N មួយ ណា មាន ប្រយោជន៍ និង មិន មែន ជា រឿង តូចតាច ?

តើ វា គ្រប់ គ្រាន់ ដើម្បី ដឹង ពី ពណ៌ ទាំង អស់ ដែល មាន គំនូរ P និង mod Q ដែល P និង Q ជា សហ ការី ដើម្បី ស្គាល់ គំនូរ ពណ៌ ទាំង អស់ ( PQ ) ឬ ទេ ?

តើសំបុត្រមួយណាគួរផ្តល់តម្លៃ?

ដើម្បី សម្រេច ចិត្ត ថា តើ ខ្សែ អក្សរ មួយ ណា ទៅ ពណ៌ បន្ទាប់ ចុច Enter ដើម្បី តម្រៀប សមីការ តាម ចំនួន អក្សរ របស់ ពួក គេ គឺ i.e. ដោយ ភាព បន្ទាន់ ។
ប្រសិន បើ សមីការ មាន អក្សរ ជា ច្រើន បន្ទាប់ មក ជ្រើស អក្សរ មួយ ដែល កើត ឡើង នៅ ក្នុង សមីការ ផ្សេង ទៀត ដើម្បី ឲ្យ សមីការ កាន់ តែ សាមញ្ញ នៅ ពេល ដែល ចំនួន ត្រូវ បាន ចាត់ តាំង ។ ស្មើ គ្នា នេះ ដែរ សូម ផ្លាស់ទី កណ្ដុរ លើ សមីការ មើល ការ ឆ្លង កាត់ រង្វង់ ហើយ នៅ ពេល ឆ្លង កាត់ នេះ ចុច ថា ខ្សែ គាំង ដែល មិន បាន លាត ត្រដាង ដែល មាន ការ ឆ្លង កាត់ ច្រើន ជាង គេ ។
អក្សរ នៅ ផ្នែក ខាង ស្ដាំ នៃ ≡ គឺ លឿន ជាង អក្សរ នៅ ខាង ឆ្វេង។ ដើម្បី គណនា លិខិត មួយ នៅ ខាង ឆ្វេង លិខិត មួយ ត្រូវ បែង ចែក ត្រឹម 2 ដែល អាច តម្រូវ ឲ្យ បន្ថែម N ទៅ ខាង ស្តាំ ដើម្បី ក្លាយ ជា ។ នេះ មិន មែន ជា ការ លំបាក ទេ ប៉ុន្តែ នៅ ក្នុង ពេល ប្រកួត គឺ មាន ភាព ត្រឹម ត្រូវ ។ ចំពោះ ហេតុផល ដូចគ្នា នេះ ដែរ ពេល ទាយ តម្លៃ សំបុត្រ មួយ ដែល មនុស្ស ម្នាក់ អាច យក លិខិត មួយ នៅ ខាង ឆ្វេង ≡ ។
ដើម្បីសន្សំសំចៃពេលវេលា កុំបារម្ភក្នុងការគណនាតម្លៃក្នុងចន្លោះ 0..N−1។ តម្លៃ អាច ជា អវិជ្ជមាន ឬ ធំ ដោយ អចេតនា ។ ប្រសិន បើ វា ត្រឹម ត្រូវ នោះ សមីការ ពណ៌ ស្វាយ បែរ ជា ពណ៌ បៃតង ហើយ នោះ គឺ ជា អ្វី ដែល សំខាន់ ។

តើតម្លៃមួយណាគួរសន្មត?

ប្រសិន បើ សមីការ មាន តែ អក្សរ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ដែល នៅ សល់ នោះ ផ្ទៃ ខាង ក្រោយ គឺ ពណ៌ ស្វាយ ហើយ បន្ទាប់ មក គ្មាន ជម្រើស ទេ តម្លៃ ត្រូវ គណនា ដើម្បី ធ្វើ ឲ្យ សមីការ បៃតង ។ សូមមើលគំរូក្នុងការណែនាំ។
ដូច ដែល បាន បង្ហាញ ខាង លើ ក្នុង ផ្នែកនេះ > 'បើមួយមានពណ៌មួយ ...' ផ្នែក, តម្លៃនៃអក្សរទាំងអស់អាចត្រូវបានប្តូរដោយតម្លៃថេរដូចគ្នា. ដូច្នេះ សំបុត្រ ដំបូង បំផុត ដែល មនុស្ស ម្នាក់ ចង់ ចាត់ ចែង អាច ត្រូវ បាន ផ្តល់ តម្លៃ 0 ដោយ គ្មាន ការ បាត់ បង់ ទូទៅ ។ មនុស្ស ម្នាក់ នឹង មិន សាក ល្បង តម្លៃ ផ្សេង ទៀត សម្រាប់ លិខិត នោះ ទេ ពីព្រោះ សំបុត្រ មួយ តែង តែ អាច ផ្លាស់ ប្តូរ តម្លៃ នោះ ទៅ សូន្យ ។
សម្រាប់ អក្សរ ទី ២ ដើម្បី ពណ៌ មួយ ត្រូវ ពិចារណា តែ ពីរ ករណី ប៉ុណ្ណោះ ៖ ១) វា មាន តម្លៃ ដូច អក្សរ ទី ១ គឺ i.e. 0 និង 2) វា មាន តម្លៃ ខុស គ្នា។ ក្នុង ករណី នោះ មនុស្ស ម្នាក់ ត្រូវ ពិចារណា តែ ១ ប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះ យើង បាន ឃើញ ថា ចំនួន ទាំង អស់ អាច ត្រូវ បាន ពង្រីក ដោយ ២.២. (ន-១) (ជាកន្លែងដែល N ជាចំនួនពណ៌ដែលអាចរកបានច្រើនជាងគេ) ហើយនៅតែមានដំណោះស្រាយស្មើ។ សូមយោង ផ្នែកនេះ > 'បើមួយមានពណ៌មួយ ...'។ ឧទាហរណ៍ៈ ប្រសិនបើ N=5 និង មួយ នឹង បាន សាកល្បង តម្លៃ ផ្សេង សម្រាប់ អក្សរ ដែល បាន ចាត់ តាំង លើក ទី ២ ដូច ជា ៣ ហើយ បាន ទទួល ដំណោះ ស្រាយ មួយ នោះ ការ បង្កើន តម្លៃ នេះ (និង តម្លៃ ផ្សេង ទៀត ទាំង អស់) ដែល មាន ២ នឹង ធ្វើ ឲ្យ ៣ ទៅ ៣×2 = 6 ≡ 1 mod 5 ដូច្នេះ ទៅ 1។ ដូច្នេះ សំបុត្រ ទី ២ ត្រូវ សាក ល្បង តែ ០ និង ១ ប៉ុណ្ណោះ។
ការ សាកល្បង ក៏ ជា សំណួរ អំពី ពេល វេលា ផង ដែរ ។ មនុស្ស ម្នាក់ អាច សន្សំ ពេល វេលា ដោយ បញ្ចូល លេខ អវិជ្ជមាន នៅ ពេល ដែល វា លឿន ជាង ការ គណនា ជាង ចំនួន វិជ្ជមាន ។ ចំណុច ប្រទាក់ មិន ត្រូវការ លេខ នៅ ក្នុង ជួរ 0..N-1 ទេ & # 160; ។
នៅពេលសមីការបត់ពណ៌ក្រហម បន្ទាប់មកស្ថានភាព ≡ មិនពេញចិត្តទេ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មានចំនួនមួយត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរ។ បន្ទាប់ មក សាកល្បង លេខ ផ្សេង ។ ដើម្បីកុំឲ្យខកខានលេខមួយអាចសាកល្បងលេខក្នុងលំដាប់ 0,1,...,N-1 និងឈប់នៅពេលដែលពណ៌ត្រូវបានរកឃើញ។
ពេល តាមដាន វិញ ដោយ ចុច ប៊ូតុង undo ប្រសិន បើ មួយ មើល ឃើញ សមីការ ពណ៌ ស្វាយ នោះ មួយ អាច ចុច ប៊ូតុង undo ម្តងទៀត ដោយ មិន គិត ។ មូល ហេតុ គឺ ថា សមីការ ពណ៌ ស្វាយ មាន តែ អក្សរ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ហើយ សម្រាប់ អក្សរ នេះ មាន តម្លៃ តែ មួយ គត់ ដែល អាច ធ្វើ ទៅ បាន (mod N) ដូច្នេះ គ្មាន តម្លៃ ផ្សេង ទៀត ត្រូវ សាក ល្បង សម្រាប់ លិខិត នេះ ក្នុង ស្ថានភាព នេះ ទេ។
ដើម្បី ស្វែងរក តាម ប្រព័ន្ធ និង មិន ត្រូវ បាត់បង់ លទ្ធភាព ពណ៌ ណា មួយ ដែល មនុស្ស ម្នាក់ អាច ចាប់ ផ្តើម ដោយ ចាត់ ចែង អថេរ នីមួយៗ នូវ តម្លៃ ០ ដែល ផ្ដល់ នូវ ដំណោះ ស្រាយ តូចតាច ហើយ បន្ទាប់ មក ចាប់ ផ្តើម តាមដាន ត្រឡប់ មក វិញ ដើម្បី ទទួល បាន ដំណោះ ស្រាយ ដែល មិន មែន ជា រឿង តូចតាច ។
Knot diagrams ដែល ប្រើ ក្នុង ល្បែង នេះ មាន ការ ឆ្លង កាត់ តិចតួច រួច ហើយ ។ ប៉ុន្តែ ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម នឹង មិន តិចតួច នោះ វា នឹង មាន ប្រយោជន៍ ក្នុង ការ ធ្វើ ឲ្យ វា សាមញ្ញ ជា មុន សិន ។ បើ គ្មាន បច្ចេកទេស ខាង លើ សម្រាប់ ការ បង្កើន ល្បឿន មួយ នឹង ត្រូវ សាក ល្បង ពណ៌ N^C ដែល N ជា ចំនួន ពណ៌ និង C គឺ ជា ចំនួន នៃ ការ ឆ្លង កាត់ = ចំនួន ខ្សែ អាត់ ។ ការ កាត់ បន្ថយ ចំនួន ការ ឆ្លង កាត់ ត្រឹម តែ 1 ទាប ជាង កិច្ច ខិតខំ ប្រឹងប្រែង ដោយ FACTOR of N ។

បាទ។ ខណ:ដែលឆ្លងកាត់មិនតិចជាង ១២ លើក ដែលមិនមានពណ៌ ១០_១២៤,_{១០ ១៥៣}, ១១,_៣៤, ១១,_៤២, ១១,_{១១, ៤៩}, ១១,_{១១, ១១៦} និង ពិតណាស់, ១១, ២. តួ លេខ នេះ បង្ហាញ ពី ដ្យាក្រាម knot 10₁₂₄ ។

ដ្យាក្រាម ដែល មាន ស្លាក ថា ' Tuzun-Sikora ' នៅ ផ្នែក ខាង លើ នៃ ទំព័រ នេះ គឺ គ្រាន់ តែ ជា ដ្យាក្រាម មួយ ក្នុង ចំណោម ដ្យាក្រាម ជា ច្រើន ដែល មិន ចេះ ចប់ មិន ចេះ ហើយ ដូច្នេះ វា ក៏ មិន អាច ពណ៌ បាន ដែរ ។

មែន ហើយ អាំងវុល បន្ថែម ទាំង នេះ គឺ ជា ការ ពង្រីក នៃ ដំណោះ ស្រាយ មួយ ដែល មាន ច្រើន សម្រាប់ ពណ៌ ដែល មាន នីមួយៗ ។ ដើម្បី យល់ ពី មតិ យោបល់ ខាង ក្រោម នេះ ចំណេះ ដឹង មួយ ចំនួន អំពី គណិត វិទ្យា បន្ទាត់ គឺ មាន ប្រយោជន៍ ។

ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម knot មាន C ឆ្លង កាត់ នោះ វា ក៏ មាន ខ្សែ ក្រវាត់ C ដែរ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ លក្ខខណ្ឌ មាន c×C coefficient matrix ដែល ជួរ នីមួយ ៗ តំណាង ឲ្យ ការ ឆ្លង កាត់ និង មាន ពីរ -1 និង មួយ 2 ឬ មួយ +1 និង -1 ( Reidemeister I loop ឆ្លង កាត់ ) ។ ជួរ ឈរ នីមួយ ៗ ត្រូវ គ្នា ទៅ នឹង ខ្សែ អាត់ និង មាន ចំនួន 2's ដូច ដែល ខ្សែ អាត់ មាន ការ ឆ្លង កាត់ ហួស ហេតុ និង ពីរ -1 ឬ មួយ -1 និង មួយ + 1 ។

លក្ខខណ្ឌ បង្កើត ប្រព័ន្ធ បន្ទាត់ ដែល មាន លក្ខណៈ ដូច គ្នា ( ផ្នែក ខាង ស្តាំ ដៃ មាន តែ 0s ) ប៉ុណ្ណោះ ហើយ សំណួរ គឺ ត្រូវ ស្វែង រក ម៉ូឌុល លេខ ពណ៌ ដែល ដំណោះ ស្រាយ ឯក រាជ្យ បន្ទាត់ មិន មែន ជា ផ្លូវ ការ ( ពណ៌ ) មាន ។

ដូច នៅ ក្នុង គណិត វិទ្យា លីនដា ម៉ាទ្រីស ត្រូវ បាន គេ នាំ ចូល ទៅ ក្នុង ទម្រង់ អង្កត់ ទ្រូង ដោយ ប្តូរ ជួរ ដេក និង បន្ថែម ជួរ ជា ច្រើន ទៅ ជួរ ផ្សេង ទៀត ។ លើស ពី នេះ ទៀត ជំហាន ទាំង នេះ ក៏ ត្រូវ បាន អនុវត្ត ដោយ ជួរ ឈរ ផង ដែរ ។ អ្វី ដែល មិន ត្រូវ បាន អនុញ្ញាត នៅ ទី នេះ គឺ ដើម្បី ពង្រីក ជួរ ដេក និង ជួរ ឈរ ដោយ លេខ មួយ ពីព្រោះ វា នឹង បន្ថែម ម៉ូដូឡូ លេខ ពណ៌ ដែល ការ កំណត់ ម៉ាទ្រីស នឹង សូន្យ ហើយ វា នឹង បន្ថែម ពណ៌ បន្ថែម ទៀត ។ អ្វី ដែល បាន ធ្វើ ឡើង ជំនួស វិញ គឺ ត្រូវ ជ្រើស រើស សមាសភាគ មិន មែន ជា សូន្យ ម្តង ហើយ ម្តង ទៀត នៃ ជួរ ឈរ/ជួរ ឈរ និយាយ ថា A,B, ដើម្បី ប្រើ ក្បួន ដោះស្រាយ របស់ Euclid ដែល បាន ពង្រីក ដើម្បី ស្វែង រក p,q, បំពេញ ចិត្ត pA + qB = GCD(A,B)។ p,q គឺជាពហុពហុបតិ្តនៃជួរទាំងពីរ/ជួរឈរ។ បន្ទាប់ ពី ប្ដូរ ជួរដេក /ជួរឈរ GCD(A,B) ក្លាយ ជា ធាតុ អង្កត់ផ្ចិត ។ លទ្ធ ផល គឺ ជា ម៉ាទ្រីស សរសៃ ឈាម ដែល ហៅ ថា ទម្រង់ ធម្មតា ស្ម៊ីត ដែល ជា ធម្មតា ជ្រុង ខាង ឆ្វេង កំពូល ចាប់ ផ្តើម ដោយ លេខ 1 ដែល ជា កត្តា នីមួយ ៗ នៃ ចំនួន បន្ទាប់ នៅ ក្នុង អង្កត់ ទ្រូង ។ ធាតុ អង្កត់ផ្ចិត ចុង ក្រោយ គឺ សូន្យ ដោយសារ ដ្យាក្រាម ចំណុច នីមួយ ៗ អនុញ្ញាត ឲ្យ ពណ៌ តូចតាច ដោយ ប្រើ តែ ពណ៌ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ។ ដូច្នេះ វា ល្មម គ្រប់ គ្រាន់ ដើម្បី គណនា ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីធ បន្ទាប់ ពី បាន ទម្លាក់ ជួរ ឈរ ណា មួយ និង ជួរ ឈរ ណា មួយ ។

ការគណនាចំណុចដែលខូចរបស់ C×C coefficient matrix ផ្តល់ឱ្យសូន្យដោយសារតែជួរឈរបន្ថែមទៅសូន្យ។ ការ គណនា ការ កំណត់ បន្ទាប់ ពី បាន ទម្លាក់ ជួរ ដេក មួយ ហើយ ជួរ ឈរ មួយ ផ្តល់ នូវ លេខ មួយ ដែល ជា ផលិត ផល នៃ ចំនួន នៅ លើ អង្កត់ ទ្រូង នៃ ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីត ។ ដូច្នេះ ទម្រង់ ធម្មតា ស្ម៊ីធ ផ្តល់ ព័ត៌មាន បន្ថែម អំពី ការ ខិតខំ ដូច គ្នា នេះ ។

ឧទាហរណ៏៖ ចំពោះឌីយ៉ាក្រាមនេះ មាន ៨៣ កំណាត់ កំណាត់ ម៉ាទ្រីស មានទំហំ ៨៣×៨៣។

ទំរង់ធម្មតារបស់ Smith វាមាន អង្កត់ផ្ចិតផ្ដើមនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ ដោយ ៧៩ដង ១លើក ១ ធ្វើតាម ៣, ៣, 85837301265 (= ៣ x ៥ x 5722486751), ០. នោះមានន័យថាមានពណ៌ 3 ពណ៌ឯករាជ្យចំនួនបី និងពណ៌មួយ 85837301265 ដែលបញ្ជាក់ថា វាក៏មានពណ៌ 5 ពណ៌, 15ពណ៌, 3x5722486751-colouring និង 5x572486751-colouring។

ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម គ្មាន ពណ៌ ទេ នោះ ចំនួន អង្កត់ ទ្រូង ទាំង អស់ គឺ 1 លើក លែង តែ 0 នៅ ក្នុង ទី តាំង ចុង ក្រោយ ។

ដ្យាក្រាមខាងក្រោមជារបស់ knot 12a₈₀₁ ។

ទម្រង់ធម្មតារបស់ Smith (SNF) មានក្នុង diagonal 9 1s បន្ទាប់ 3,45,0។ ក្នុង ទម្រង់ នេះ លេខ នីមួយៗ គឺ ជា កត្តា មួយ នៃ ចំនួន អង្កត់ ទ្រូង បន្ទាប់ ។ ហើយ ភាព ចម្រុះ នៃ ពណ៌ គឺ ចំនួន ធាតុ ទឹក នោម ដែល វា កើត ឡើង ជា កត្តា មួយ ។ ដូច្នេះ ដ្យាក្រាម នីមួយ ៗ នៃ ចំណុច នេះ មាន ពណ៌ 3 ឯក រាជ្យ ចំនួន ពីរ និង ពណ៌ 45 តែ មួយ គត់ ដែល បញ្ជាក់ ថា វា ក៏ មាន ពណ៌ តែ មួយ គត់ 5-,9-15 ។

តើ មាន ទិដ្ឋភាព ទូទៅ នៃ ពណ៌ ដែល អាច មាន នៃ ចំណុច សំខាន់ ៗ រហូត ដល់ ទំហំ មួយ ចំនួន ឬ ទេ ?

បញ្ជីឯកសារអត្ថបទ https://cariboutests.com/qi/knots/colour3-15-N.txt សម្រាប់តង់នីមួយៗដែលមានលេខឆ្លងកាត់ ≦ ១៥ គ្រប់ធាតុទាំងអស់នៃទម្រង់ធម្មតារបស់ស្ម៊ីធ ដែលមិនមែនជា 0 ឬ 1 ។ ចំនួន ទាំង នេះ ត្រូវ បាន គណនា ពី ដ្យាក្រាម មួយ ប៉ុន្តែ វា គឺ ជា ដ្យារៀន ដូច្នេះ វា ដូច គ្នា នៅ ពេល ដែល ត្រូវ បាន គណនា ពី ដ្យាក្រាម ណា មួយ នៃ ចំណុច នោះ ។ ប្រសិន បើ អ្នក ចូលចិត្ត រូបភាព នៃ ចំណង ពណ៌ នោះ អ្នក អាច ទាញ យក បដា ពី ការ ប្រមូល បដា របស់ យើង ដោយ ចុច លើ ទំព័រ ដើម 'Home' > 'Posters' ដែល នាំ ទៅ ដល់ https://cariboutests.com/images/posters/knot_colouring_portrait.pdf។

តើពណ៌ N មានភាពរឹងមាំប៉ុណ្ណា?

តារាង ខាង ក្រោម នេះ បង្ហាញ ពី របៀប ដែល ការ ប្រើប្រាស់ ពណ៌ កាន់ តែ ច្រើន បង្កើន ចំនួន ថ្នាក់ អន់ ថយ នៃ ចំណុច ដូច្នេះ កាត់ បន្ថយ ចំនួន ជា មធ្យម នៃ ចំណុច ក្នុង មួយ ថ្នាក់ ។ ជួរ ឈរ ខាង ស្ដាំ បង្ហាញ ពី របៀប ដែល ឫស (#cr - ៣)'ឫស នៃ ចំនួន នៃ ថ្នាក់ អាំងវុយរីត ពណ៌ នៅ តែ មាន ភាព ខ្ជាប់ខ្ជួន ជា ទី ដែល #cr ជា ចំនួន នៃ ការ ឆ្លង កាត់ ចំណង ។

តារាង ទី ១ ៖ ស្ថិតិ ពណ៌ មិន ស្ទាក់ ស្ទើរ

# នៃ cr : # នៃ ការ ឆ្លង កាត់
# នៃ kn: # នៃ knots
#នៃ cl1: #នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាតែបញ្ជីលេខពណ៌ចម្បង
#នៃ cl2: #នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាតែបញ្ជីនៃចំនួនពណ៌ចម្បង
#នៃ cl3: # នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាបញ្ជីនៃ Smith Normal Form Entries <> 1
abs: exp(ln(noofcl3[cr])/(cr-3))
= (cr-3)th root of (# of cl3)

#នៃ cr	#នៃ kn	#នៃ cl1	kn/cl1	#នៃ cl2	kn/cl2	#នៃ cl3	kn/cl3	abs ↑
3	1	1	1.00	1	1.00	1	1.00
4	1	1	1.00	1	1.00	1	1.00	1.000
5	2	2	1.00	2	1.00	2	1.00	1.414
6	3	3	1.00	3	1.00	3	1.00	1.442
7	7	7	1.00	7	1.00	7	1.00	1.627
8	21	13	1.62	14	1.50	16	1.31	1.741
9	49	25	1.96	29	1.69	33	1.48	1.791
10	165	47	3.51	53	3.11	62	2.66	1.803
11	552	81	6.81	93	5.94	116	4.76	1.812
12	2176	136	16.00	162	13.43	203	10.72	1.805
13	9988	234	42.68	271	36.86	342	29.20	1.792
14	46972	409	114.85	488	96.25	623	75.40	1.795
15	253293	722	350.82	855	296.25	1100	230.27	1.792

តើ លេខ ពណ៌ ធំ ជាង គេ បំផុត សម្រាប់ ចំណុច ដែល មាន ការ ឆ្លង កាត់ C ពឹង ផ្អែក លើ C យ៉ាង ដូចម្ដេច ?

ប្រសិន បើ មនុស្ស ម្នាក់ យក ចំណុច ទាំង អស់ ដោយ ឆ្លង កាត់ លេខ C (<16) ហើយ រក ឃើញ ពី ចំណុច ទាំង នេះ ដែល មាន លេខ ពណ៌ ខ្ពស់ បំផុត N_max នោះ តារាង ខាង ក្រោម បង្ហាញ ថា N_max លូត លាស់ ប្រហែល ជា ដោយ កត្តា 1.7 នៅ ពេល ដែល កើន ឡើង C ត្រឹម 1 ។

តារាងទី២: តារាង B(C) = N_max^1/(C−1)

C	_{អតិបរមា} N	knot	ខ(គ)
3	3	3₁	1.732
4	5	4₁	1.710
5	7	5₂	1.627
6	13	6₃	1.670
7	19	7₆	1.634
8	37	8₁₇	1.675
9	61	9₃₃	1.672
10	109	10₁₁₅	1.684
11	199	11a₃₀₁	1.698
12	353	12a₁₁₈₈	1.705
13	593	13a₄₆₂₀	1.703
14	1103	14a₁₆₄₇₆	1.714
15	1823	15a₆₅₆₀₆	1.710

AsciiKnots គឺ ជា កម្មវិធី កុំព្យូទ័រ ដើម្បី គណនា សម្រាប់ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ ដែល បាន ផ្តល់ ដោយ ការ គណនា ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីត នៃ ម៉ាទ្រីស ដែល មាន ជាតិ ពុល ។ ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម knot មិន មាន ការ ឆ្លង កាត់ ច្រើន ពេក នោះ វា ក៏ គណនា ដោយ ការ សាក ល្បង និង ការ ស្វែង រក កំហុស ដែល បាន ផ្តល់ ឲ្យ នូវ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ ឬ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ រួម ទាំង ពណ៌ របស់ ពួក គេ ផង ដែរ ។

ក្រៅ ពី ពណ៌ កម្មវិធី អាច គណនា បាន ច្រើន ជាង នេះ ។ អាចទាញយកបានពី https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz។ AsciiKnots រត់ក្រោម linux។ អ្នក ប្រើ បង្អួច តឹង រឹង អាច ដំឡើង Ubuntu linux ដោយ ឥត គិត ថ្លៃ ជា កម្មវិធី នៅ ក្រោម Windows 10 ។ លីនុច បញ្ជា ឲ្យ ដក កំណែ ដែល បាន ទាញ យក ចាស់ ចេញ ដើម្បី ទាញ យក កំណែ ចុង ក្រោយ បំផុត ដើម្បី ដោះ វា ចេញ ហើយ ដើម្បី ចាប់ ផ្តើម វា


        rm AsciiKnots.tar.gz 

        wget https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz 

        tar xfz AsciiKnots.tar.gz 

        ./AsciiKnots

មុខងារ ពណ៌ ដែល មាន កម្រិត ក៏ មាន នៅ លើ https://cariboutests.com/games/knots/knoteditor/ បន្ទាប់ ពី ជ្រើស រើស 'Tools' > 'Colour Knot'

[១] អ. ហ. ហ. ហ្វក់, Metacyclic invariants of knots and linkss, Canadian Journal of Mathematics 22 (1970) 193−201។
[២] ជ. ហ. ព្រិស្សធីកគី ៣-ពណ៌ និង អាំងតង់ស្យុត ១០។ Banach Center Publications, Vol. 42, "Knot Theory", Warszawa, 1998, 275−295.
[៣] D. Rolfsen, Table of Knots and Links. Appendix C ក្នុង Knots និង Links។ Wilmington, DE: Publish ឬ Perish Press, pp. 280-287, 1976.
[៤] ជ. ឆ. ឆា និង ស៊ី លីវស្តុន, ណុត អ៊ីនហ្វូ៖ តុ របស់ ណុត អ៊ីនវ៉ារីត http://www។ indiana.edu/~knotinfo
[៥] «ការ ចាត់ ថ្នាក់ ពណ៌ របស់ Knots ជាមួយ នឹង ការ ឆ្លង កាត់ លេខ រហូត ដល់ ១៥», https:// cariboutests.com/qi/knots/colour3-15.txt
[៦] ធី. វ៉ូលហ្វៈ "A Knot Workbench", https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz

ពណ៌ Knot