300000
12272
ពណ៌ Knot
ប្រសិនបើអ្នកគ្រាន់តែចាប់អារម្មណ៍លើវិធីដោះស្រាយបញ្ហាប្រឈមនេះ ហើយមិនមែនជាទ្រឹស្ដីនៅពីក្រោយទេនោះ សូមបន្តទៅ 'តើអ្វីជាការណែនាំសម្រាប់ការស្វែងរកពណ៌ដោយការសាកល្បង និងកំហុស?'
អំពីអថេរ
អាចត្រូវបានខូចទ្រង់ទ្រាយគ្នាទៅវិញទៅមកដោយមិនចាំបាច់កាត់ ខ្សែរចំណង ។
បើមិនដូច្នោះទេ លំដាប់ខាងក្រោមបង្ហាញពីរបៀបធ្វើឱ្យដ្យាក្រាម ទូហ្សុន-ស៊ីកូរ៉ាសាមញ្ញទៅជារង្វង់មួយ។
ភ័ស្តុតាងដែលថាដ្យាក្រាម ទូហ្សុន-ស៊ីកូរ៉ា គឺជាចំណុចមិនច្បាស់លាស់។
ឧទាហរណ៏នៃ invariant គឺជាចំនួនតិចតួចបំផុតនៃការឆ្លងកាត់ដែលណាមួយនៃដ្យាក្រាមសមមូលជាច្រើនដែលគ្មានកំណត់អាចមាន។ វិចារណញាណនេះពិបាករកណាស់ ព្រោះគេមិនអាចពិនិត្យមើលដ្យាក្រាមច្រើនគ្មានកំណត់។
ប៉ុន្តែអ្វីដែលអាចជាអថេរដែលអាចគណនាបានសម្រាប់ដ្យាក្រាមដែលបានផ្តល់ឱ្យ? វាពិបាកក្នុងការស្រមៃមើលថាតើទ្រព្យសម្បត្តិណាដែលមិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងការខូចទ្រង់ទ្រាយនៅពេលដែលមនុស្សម្នាក់អាចខូចទ្រង់ទ្រាយដ្យាក្រាមតាមវិធីណាមួយដែលមនុស្សម្នាក់ចង់បាន។
ភាពមានពណ៌បីគឺជាអថេរ។
តើគំនូសតាងទាំង ៣ មួយណាអាចមានពណ៌បី?
N - ភាពធន់នឹងពណ៌
សំណួរជាច្រើនកើតឡើង។
សេចក្តីផ្តើមអំពីនព្វន្ធម៉ូឌុល
យើងអាចបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងអស់នៃនព្វន្ធម៉ូឌុលដោយការណែនាំមេគុណ k និងបង្កើតសមីការ ≡ ឡើងវិញជាសមីការធម្មតា។ ដើម្បីបង្រួមកំណត់ចំណាំ យើងប្រើ
'ចំនួនគត់' សម្រាប់ 'លេខទាំងមូល',
'pq' សម្រាប់ 'p ដង q',
'∃' សម្រាប់ 'មាន',
' : ' សម្រាប់ 'ជាមួយទ្រព្យសម្បត្តិ' និង
'A → B' សម្រាប់ 'ពី A តាម B' ។
ឧ. ត្រូវតែមានមេគុណ m ជាមួយនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដែល a = b + mp ។ សរុបមក នេះគឺ
(a ≡ b mod N) → (∃ ចំនួនគត់ m: a = b + mp)
(c ≡ d mod N) → (∃ ចំនួនគត់ n: c = d + np)
ដោយបន្ថែមសមីការទាំងពីរយើងទទួលបាន a + c = b + mp + d + np = b + d + (m + n)p
→ a + c ≡ (b + d) mod N
បញ្ជាក់៖ ប្រសិនបើ a ≡ b mod N បន្ទាប់មកសម្រាប់ចំនួនគត់ m យើងមាន ma ≡ mb mod N
បន្ទាប់ពីគុណនឹង m យើងទទួលបាន
ma = mb + mkN
→ ma ≡ mb mod N
បញ្ជាក់៖ ប្រសិនបើ ≡ b mod (PQ) បន្ទាប់មក ≡ b mod P ។
→ ∃ integer k: a = b + k(PQ)
→ ∃ ចំនួនគត់ k: a = b + k(PQ)
→ a ≡ b mod P
ចុះទិសដៅផ្ទុយវិញ?
6 ≡ 1 mod 5 ប៉ុន្តែ
6 ≢ 1 mod 15 ពីព្រោះ 6 និង 1 មិនខុសគ្នាដោយពហុគុណនៃ 15 ។
ហេតុអ្វីបានជាអាចជឿបានថាការបញ្ច្រាសមិនពិត?
នៅក្នុងសមីការ mod N ភាគីទាំងពីរនៃ ≡ អាចមានតម្លៃ N ផ្សេងគ្នា។ នៅក្នុងម៉ូឌុលសមីការ (NM) ភាគីទាំងពីរនៃ ≡ អាចមានតម្លៃខុសគ្នា NM ។ ដូច្នេះ relation mod (NM) ផ្ទុកពត៌មានច្រើនជាង relation mod N ។ ការបោះព័ត៌មានទៅឆ្ងាយដោយចេញពី mod (NM) ទៅ mod N គឺងាយស្រួល ប៉ុន្តែការបញ្ច្រាសនៃការបង្កើតព័ត៌មានចេញពីគ្មានអ្វីគឺមិនអាចទៅរួចទេ។ និយាយដោយប្រយោល ក្នុងន័យនេះ សមភាពធម្មតាដោយប្រើ = គឺស្មើនឹង ≡ mod ∞(គ្មានកំណត់)។
ក្នុងនាមជាមតិយោបល់ចំហៀង នេះបើកលទ្ធភាពដែលថានៅក្នុងកម្មវិធីដែលដំណោះស្រាយពាក់ព័ន្ធនឹងចំនួនគត់ និងកន្លែងដែលមនុស្សម្នាក់កំពុងស្វែងរកដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់សមីការដោយប្រើ '=' និងកន្លែងដែលមនុស្សម្នាក់ដឹងថាមានព្រំដែនខាងលើសម្រាប់តម្លៃដាច់ខាត។ នៃលេខនៅក្នុងដំណោះស្រាយនោះ យុទ្ធសាស្ត្រមួយអាចចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ mod N សម្រាប់ចំនួនបឋមតូចៗ N ហើយបន្ទាប់មកដើម្បីគណនាអត្តសញ្ញាណ mod N^2 បន្ទាប់មក mod N^4 និងបន្តរហូតដល់ថាមពលរបស់ N គឺ ធំជាងព្រំដែនខាងលើ គេដឹងសម្រាប់ដំណោះស្រាយ ហើយបន្ទាប់មកគេអាចទម្លាក់ mod ហើយមានដំណោះស្រាយពិតប្រាកដដោយប្រើ = .
វិធីសាស្រ្តបែបនេះដែលហៅថា ការលើករបស់ Hensel អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្វែរពហុនាមឯកវចនៈជាមុនសិនដោយគោរពតាមចំនួនបឋមតូចៗមួយចំនួន ហើយចុងក្រោយគឺលើសចំនួនគត់។
បញ្ជាក់៖ a + b ≡ ((a mod N) + (b mod N)) mod N
b និង b mod N ខុសគ្នាដោយពហុគុណនៃ N: b = (b mod N) + qN
→ a + b = (a mod N) + (b mod N) + (p + q)N
→ a + b ≡ ((a mod N) + (b mod N)) mod N
បញ្ជាក់៖ ab ≡ ((a mod N)(b mod N)) mod N
b និង b mod N ខុសពី N ច្រើន: b = (b mod N) + qN
→ ab = ((a mod N) + pN)((b mod N) + qN)
= (a mod N)(b mod N) + [(a mod N)q + (b mod N)p + pqN]N
→ ab ≡ (a mod N)(b mod N) mod N
បញ្ជាក់: ប្រសិនបើ P(x,y,...) ជា polynomial ក្នុងអថេរ x,y,... បន្ទាប់មក P(x,y,...) ≡ P(x mod N),(y mod N),...) mod N
បញ្ជាក់: នៅក្នុងម៉ូឌុលគណិតម៉ូឌុលជាចំនួនចម្បង, ការបែងចែកដោយគត់ផ្តល់ឱ្យអ្នក integers ម្តងទៀត.
យើង ចាប់ ផ្តើម ដោយ បង្ហាញ ថា សម្រាប់ លេខ ចម្បង p និង អាំងតេហ្គើ ណា មួយ ជា បំពង់ ក ≢ 0 mod N, the inverse 1/a mod N ក៏ ជា អាំងតេច ផង ដែរ ។ យើង ទាមទារ ឲ្យ មាន ការ គណនា 0 mod N 0 ព្រោះ នៅ ក្នុង គណិត វិទ្យា ម៉ូឌុល ផង ដែរ ការ បែង ចែក ដោយ សូន្យ គឺ មិន អាច ទៅ រួច ទេ ។
សូម u be u ≡ 1/a mod N. ដើម្បី ឲ្យ អ្នក ក្លាយ ជា សត្រូវ របស់ mod N វា មាន ន័យ ថា
ua ≡ 1 mod N
→ ∃ integer k: ua = 1 + kp
នេះ មាន ទម្រង់ នៃ អត្ត សញ្ញាណ របស់ Bézout: ua + vp = GCD(a,p) ដែល GCD(a,p) គឺ ជា The Greatest Common Divisor នៃ a,p និង កន្លែង v=-k ។ ព្រោះ p ជា លេខ ចម្បង ហើយ មិន មែន ជា p ច្រើន ទេ ដូច្នេះ GCD(a,p)=1.
ការ ពង្រីក u,v នៅ ក្នុង អត្ត សញ្ញាណ របស់ Bézout អាច ត្រូវ បាន គណនា តាម រយៈ ក្បួន ដោះ ស្រាយ Euclidean ដែល បាន ពង្រីក និង ទាំង ពីរ u,v គឺ ជា អ្នក នាំ ពាក្យ ។
ប្រសិន បើ អ្នក=1/a ជា integer mod N នោះ b/a = bu ក៏ ជា integer mod N ដែល ត្រូវ បង្ហាញ ផង ដែរ។
ឧទាហរណ៍៖ 1/3 ≡ 5 mod 7 ព្រោះ 1 = 3(1/3) ≡ 3(5) = 15 = 2(7) + 1 ≡ 1 mod 7.តើ ma ≡ mb mod N ស្មើ នឹង ≡ b mod N នៅ ពេល ណា ?
Theorem ដែល នៅ សល់ របស់ ចិន ។
នេះ គឺ ជា អ្វី ដែល ការ រំលឹក របស់ ចិន បាន ថ្លែង ។
ប្រសិនបើសម្រាប់សមីការទាំងពីរ
x ≡1 mod N1
x ≡2 mod N2
អ្នក បែង ចែក N1,N 2 គឺ ជា សហ ការី បន្ទាប់ មក មាន តម្លៃ ពិត ប្រាកដ មួយ សម្រាប់ x រហូត ដល់ ច្រើន នៃ p1p2 ដែល បំពេញ សមីការ ម៉ូឌុល ទាំង ពីរ ។
វិធី មួយ ដើម្បី ទទួល បាន ដំណោះ ស្រាយ គឺ ត្រូវ ប្រើ ក្បួន ដោះស្រាយ Euclidean ដែល បាន ពង្រីក ដើម្បី ដោះស្រាយ អត្តសញ្ញាណ របស់ Bézout m1N1 + m2N2 = 1 ដោយ គណនា m1,m 2 រួច ប្រើ រូបមន្ត
x = a1m2N2 + a2m1M1
= a1(1 - m1N1) + a2m1N1
= a1 + (a2 - a1)m1N1
ដែលបង្ហាញ x ≡1 mod N1 និងស្មើ x = a2 + (a1 - a2)m2N2 ដែលបង្ហាញ x ≡2 mod N2។
ប្រសិន បើ មួយ មាន សមីការ ម៉ូឌុល ច្រើន ជាង ពីរ នោះ សមីការ មួយ អាច ជំនួស ពីរ ក្នុង ចំណោម សមីការ ទាំង នោះ ម្តង ហើយ ម្តង ទៀត រហូត ដល់ មួយ មាន ដំណោះ ស្រាយ ក្នុង ទម្រង់ សមីការ ម៉ូឌុល មួយ ។ ក្នុង ការ ជំនួស នីមួយ ៗ ចំនួន ឌីវីស័រ ថ្មី កើន ឡើង ដោយ ក្លាយ ជា ផលិត ផល នៃ ការ បំបែក ទាំង ពីរ នៃ សមីការ ដែល បាន បញ្ចូល គ្នា ។
តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា ការ មិន មាន ពណ៌ N គឺ ជា អាំងវ័ររីត យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា Reidemeister ដែល ខ្ញុំ ផ្លាស់ទី មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
ប្រសិន បើ ពណ៌ នៃ ខ្សែ អក្សរ គឺ A និង B ដូច ដែល បាន បង្ហាញ នោះ លក្ខខណ្ឌ ពណ៌ តម្រូវ ឲ្យ មាន នៅ ក្នុង តួ លេខ ឆ្វេង A + B ≡ 2B mod N និង នៅ ក្នុង តួ លេខ ស្តាំ B + A ≡ 2A mod N ។ ក្នុង ករណី ទាំង ពីរ B = A គឺ ជា ដំណោះ ស្រាយ មួយ ៖
នោះ មាន ន័យ ថា ការ សម្តែង Reidemeister ដែល ខ្ញុំ ផ្លាស់ទី មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ ទេ ។
តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា ការ ផ្លាស់ទី Reidemeister II មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
ប្រសិន បើ ពណ៌ នៃ ខ្សែ អក្សរ គឺ A,B និង C ដូច ដែល បាន បញ្ជាក់ នោះ C ត្រូវ បាន កំណត់ ដោយ ឡែក ពី ស្ថានភាព B + C ≡ 2A mod N ក្នុង តួ អក្សរ ឆ្វេង ដូច្នេះ C ≡ (2A - B mod N) និង ក្នុង តួ លេខ ស្តាំ A + C ≡ 2B mod N so C ≡ (2B - A mod N) ។ នេះ កំណត់ ពណ៌ នៃ ខ្សែ អាត់ ថ្មី នៅ ពេល សម្តែង Reidemeister II ផ្លាស់ទី ។ ពណ៌ មិន ត្រូវ បាន ប៉ះ ពាល់ ទេ ។
តើ មនុស្ស ម្នាក់ អាច បង្ហាញ ថា ការ ផ្លាស់ទី Reidemeister III មិន ផ្លាស់ ប្ដូរ ពណ៌ យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
ប្រសិនបើពណ៌នៃខ្សែរនោះមាន A,B,C,D,E,F និង G ដូចដែលបានបញ្ជាក់នោះ លក្ខខ័ណ្ឌទាំង ៣ នៅខាងឆ្វេងគឺ
A + D ≡ 2C mod N
E + F ≡ 2D mod N
F + B ≡ 2C mod N .
ដោយ ការ លុប បំបាត់ គាំង ខាង ក្នុង F ស្ថានភាព នៅ លើ ខ្សែ ខាង ក្រៅ គឺ
2D - E ≡ 2C - B mod N ដែលប្រើ A + D ≡ 2C mod N simplifies to
2D - E ≡ A + D - B mod N ហើយដូច្នេះ A - B - D + E ≡ 0 mod N.
លក្ខខណ្ឌ ៣ នៅ ខាង ស្តាំ គឺ
E + G ≡ 2C mod N
G + B ≡ 2A mod N
A + D ≡ 2C mod N
ដោយ ការ លុប បំបាត់ គាំង ខាង ក្នុង G ស្ថានភាព នៅ លើ ខ្សែ ខាង ក្រៅ គឺ
2C - E ≡ 2A - B mod N ដែលប្រើ 2C ≡ A + D mod N simplifies to
A + D - E ≡ 2A - B mod N ហើយដូច្នេះ 0 ≡ A - B - D + E mod N .
F និង G ត្រូវ បាន គណនា ពី ទំនាក់ទំនង ណា មួយ ដែល ពួក គេ បង្ហាញ ។
យើង សន្និដ្ឋាន ថា សម្រាប់ ដ្យាក្រាម ទាំង ពីរ លក្ខខណ្ឌ នៅ លើ ពណ៌ នៃ ខ្សែ ខាង ក្រៅ គឺ ដូច គ្នា : A + D ≡ 2C mod N និង A - B - D + E ≡ 0 mod N ។
ដូច្នេះ ទាំង ដ្យាក្រាម ទាំង ពីរ មាន ឬ គ្មាន ដ្យាក្រាម ណា មួយ ក្នុង ចំណោម នោះ មាន ពណ៌ ហើយ ដូច្នេះ ពណ៌ គឺ មិន ប្រក្រតី នៅ ក្រោម Reidemeister III ផ្លាស់ ប្តូរ ឡើយ ។
ភាព តូចតាច ស្មើ ភាព និង ឯករាជ្យភាព នៃ ពណ៌
១) ពេល បន្ថែម ថេរ ដូច គ្នា សូម និយាយ ថា S, ទៅ ពណ៌ នីមួយៗ បន្ទាប់ មក ភាព ខុស គ្នា មិន ផ្លាស់ ប្តូរ៖
(A+S) - (C+S) = A - C + S - S = A - C និង
(C+S) - (B+S) = C - B + S - S = C - B និង
ដូច្នេះ លក្ខខណ្ឌ នៅ តែ ពេញ ចិត្ត ។
២) យើង បាន ឃើញ កាល ពី មុន ថា ជា ច្បាប់ នៃ គណិត វិទ្យា ម៉ូឌុល ដែល យើង អាច ពង្រីក ទាំង សងខាង នៃ ≡ ជាមួយ នឹង ការ សហការ គ្នា មួយ ចំនួន ទៅ N និង ទទួល បាន ដំណោះ ស្រាយ ស្មើ គ្នា នៃ ប្រព័ន្ធ សមីការ ដូច្នេះ ជា ពណ៌ ស្មើ គ្នា។
តើពណ៌ mod 2 មានខ្លឹមសារឬទេ?
សូម ឲ្យ យើង ចាប់ ផ្តើម នៅ លើ ខ្សែ គាំង ដែល មាន ពណ៌ A ដែល បន្ត ជា ខ្សែ ក្រវាត់ B បន្ទាប់ ពី ឆ្លង កាត់ នៅ ក្រោម ផ្លូវ ឆ្លង កាត់ ដំបូង ដោយ មាន ពណ៌ C ។ បន្ទាប់មក A,B,C ទាក់ទងនឹង A + B ≡ 2C mod 2 ហើយបន្ទាប់ពីបន្ថែម B ទៅភាគីទាំងសងខាង A ≡ B mod 2 ដោយសារតែ 2B ≡ 2C ≡ 0 mod 2។ ការ បន្ត ការ វែកញែក នោះ នៅ គ្រប់ ការ ឆ្លង កាត់ វា ធ្វើ ឡើង បន្ទាប់ ពី នោះ ខ្សែ ក្រវាត់ ទាំង អស់ មាន ពណ៌ ( 0 ) ឬ ពណ៌ ចម្លែក ( 1 ) ។ នេះ ផ្ដល់ នូវ ពណ៌ តូចតាច ។
ចុះ ម៉ូដ ដែល មាន ពណ៌ (2N), i.e. modulo មួយ ចំនួន ស្មើ គ្នា?
ជា លទ្ធផល ម៉ូឌ ពណ៌ នីមួយៗ (2N) ស្មើ នឹង ម៉ូដ N ដែល កំពុង លោភលន់ & # 160; ។
តើ N មួយ ណា មាន ប្រយោជន៍ និង មិន មែន ជា រឿង តូចតាច ?
តើ វា គ្រប់ គ្រាន់ ដើម្បី ដឹង ពី ពណ៌ ទាំង អស់ ដែល មាន គំនូរ P និង mod Q ដែល P និង Q ជា សហ ការី ដើម្បី ស្គាល់ គំនូរ ពណ៌ ទាំង អស់ ( PQ ) ឬ ទេ ?
ចម្លើយ៖ បាទ.
ភស្តុតាង៖
សូមឲ្យ 1,2 គឺ ជា ពណ៌ នៃ ខ្សែ កោង មួយ ក្នុង ពណ៌ mod P និង mod Q .
បន្ទាប់ មក Theorem ដែល នៅ សល់ ចិន ធានា នូវ ការ មាន និង ភាព ពិសេស របស់ អ្នក នាំ ពាក្យ A mod PQ ម្នាក់ ដែល បំពេញ លក្ខខណ្ឌ ទាំង ពីរ
≡1 mod P
≡2 mod Q.
នេះ អាច ធ្វើ ឡើង វិញ សម្រាប់ ខ្សែ កោង នីមួយៗ ដែល ផ្ដល់ តម្លៃ ពណ៌ A,B,C,... mod PQ.
នៅ ពេល នីមួយ ៗ ឆ្លង កាត់ លក្ខខណ្ឌ ពណ៌ ទាំង ពីរ
(A + B - 2C) mod P = a1 + b1 - 2c1 ≡ 0 mod P
(A + B - 2C) mod Q = a2 + b2 - 2c2 ≡ 0 mod Q
ស្កប់ស្កល់។ តម្លៃ តែ មួយ គត់ របស់ (A + B - 2C) mod PQ ដែល ជា mod P សូន្យ និង ជា mod Q សូន្យ គឺ A + B - 2C ≡ 0 mod PQ។ នេះ បង្ហាញ ថា ពណ៌ មាន តម្លៃ A,B,C,... ផ្តល់ នូវ mod PQ ពណ៌ ។
ពីព្រោះ អ្នក នាំ ពាក្យ វិជ្ជមាន ទាំង អស់ មាន កត្តា ចម្បង ពួក គេ អាច ត្រូវ បាន សរសេរ ជា ផលិត ផល នៃ អំណាច នៃ ចំនួន ដំបូង ។ ដូច្នេះ មនុស្ស ម្នាក់ អាច រក ឃើញ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ ដោយ ស៊ើប អង្កេត តែ អំណាច ទាំង អស់ នៃ ចំនួន ដំបូង ចម្លែក ទាំង អស់ ដែល ជា លេខ ពណ៌ ។ យើង បាន ឃើញ កាល ពី មុន ថា លេខ 2 និង អំណាច ចម្បង នៃ 2 គឺ មិន អាច ពណ៌ បាន ទេ ។
មនុស្ស ម្នាក់ នឹង ចាប់ ផ្តើម ពិនិត្យ មើល ការ មាន ម៉ូដូឡូ ពណ៌ លេខ សំខាន់ មួយ ចំនួន ហើយ ប្រសិន បើ ទទួល បាន ជោគ ជ័យ នោះ សូម ធ្វើ ការ ត្រួត ពិនិត្យ ឡើង វិញ ដោយ មាន អំណាច ខ្ពស់ ជាង គេ នៃ លេខ សំខាន់ នោះ រហូត ដល់ មិន មាន ការ ប៉ះប៉ូវ ទៀត ។
តើ អ្វី ជា គន្លឹះ សម្រាប់ ការ ស្វែងរក ពណ៌ ដោយ ការ សាកល្បង និង កំហុស ?
- ដើម្បី សម្រេច ចិត្ត ថា តើ ខ្សែ អក្សរ មួយ ណា ទៅ ពណ៌ បន្ទាប់ ចុច Enter ដើម្បី តម្រៀប សមីការ តាម ចំនួន អក្សរ របស់ ពួក គេ គឺ i.e. ដោយ ភាព បន្ទាន់ ។
- ប្រសិន បើ សមីការ មាន អក្សរ ជា ច្រើន បន្ទាប់ មក ជ្រើស អក្សរ មួយ ដែល កើត ឡើង នៅ ក្នុង សមីការ ផ្សេង ទៀត ដើម្បី ឲ្យ សមីការ កាន់ តែ សាមញ្ញ នៅ ពេល ដែល ចំនួន ត្រូវ បាន ចាត់ តាំង ។ ស្មើ គ្នា នេះ ដែរ សូម ផ្លាស់ទី កណ្ដុរ លើ សមីការ មើល ការ ឆ្លង កាត់ រង្វង់ ហើយ នៅ ពេល ឆ្លង កាត់ នេះ ចុច ថា ខ្សែ គាំង ដែល មិន បាន លាត ត្រដាង ដែល មាន ការ ឆ្លង កាត់ ច្រើន ជាង គេ ។
- អក្សរ នៅ ផ្នែក ខាង ស្ដាំ នៃ ≡ គឺ លឿន ជាង អក្សរ នៅ ខាង ឆ្វេង។ ដើម្បី គណនា លិខិត មួយ នៅ ខាង ឆ្វេង លិខិត មួយ ត្រូវ បែង ចែក ត្រឹម 2 ដែល អាច តម្រូវ ឲ្យ បន្ថែម N ទៅ ខាង ស្តាំ ដើម្បី ក្លាយ ជា ។ នេះ មិន មែន ជា ការ លំបាក ទេ ប៉ុន្តែ នៅ ក្នុង ពេល ប្រកួត គឺ មាន ភាព ត្រឹម ត្រូវ ។ ចំពោះ ហេតុផល ដូចគ្នា នេះ ដែរ ពេល ទាយ តម្លៃ សំបុត្រ មួយ ដែល មនុស្ស ម្នាក់ អាច យក លិខិត មួយ នៅ ខាង ឆ្វេង ≡ ។
- ដើម្បីសន្សំសំចៃពេលវេលា កុំបារម្ភក្នុងការគណនាតម្លៃក្នុងចន្លោះ 0..N−1។ តម្លៃ អាច ជា អវិជ្ជមាន ឬ ធំ ដោយ អចេតនា ។ ប្រសិន បើ វា ត្រឹម ត្រូវ នោះ សមីការ ពណ៌ ស្វាយ បែរ ជា ពណ៌ បៃតង ហើយ នោះ គឺ ជា អ្វី ដែល សំខាន់ ។
- ប្រសិន បើ សមីការ មាន តែ អក្សរ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ដែល នៅ សល់ នោះ ផ្ទៃ ខាង ក្រោយ គឺ ពណ៌ ស្វាយ ហើយ បន្ទាប់ មក គ្មាន ជម្រើស ទេ តម្លៃ ត្រូវ គណនា ដើម្បី ធ្វើ ឲ្យ សមីការ បៃតង ។ សូមមើលគំរូក្នុងការណែនាំ។
- ដូច ដែល បាន បង្ហាញ ខាង លើ ក្នុង ផ្នែកនេះ > 'បើមួយមានពណ៌មួយ ...' ផ្នែក, តម្លៃនៃអក្សរទាំងអស់អាចត្រូវបានប្តូរដោយតម្លៃថេរដូចគ្នា. ដូច្នេះ សំបុត្រ ដំបូង បំផុត ដែល មនុស្ស ម្នាក់ ចង់ ចាត់ ចែង អាច ត្រូវ បាន ផ្តល់ តម្លៃ 0 ដោយ គ្មាន ការ បាត់ បង់ ទូទៅ ។ មនុស្ស ម្នាក់ នឹង មិន សាក ល្បង តម្លៃ ផ្សេង ទៀត សម្រាប់ លិខិត នោះ ទេ ពីព្រោះ សំបុត្រ មួយ តែង តែ អាច ផ្លាស់ ប្តូរ តម្លៃ នោះ ទៅ សូន្យ ។
- សម្រាប់ អក្សរ ទី ២ ដើម្បី ពណ៌ មួយ ត្រូវ ពិចារណា តែ ពីរ ករណី ប៉ុណ្ណោះ ៖ ១) វា មាន តម្លៃ ដូច អក្សរ ទី ១ គឺ i.e. 0 និង 2) វា មាន តម្លៃ ខុស គ្នា។ ក្នុង ករណី នោះ មនុស្ស ម្នាក់ ត្រូវ ពិចារណា តែ ១ ប៉ុណ្ណោះ ពីព្រោះ យើង បាន ឃើញ ថា ចំនួន ទាំង អស់ អាច ត្រូវ បាន ពង្រីក ដោយ ២.២. (ន-១) (ជាកន្លែងដែល N ជាចំនួនពណ៌ដែលអាចរកបានច្រើនជាងគេ) ហើយនៅតែមានដំណោះស្រាយស្មើ។ សូមយោង ផ្នែកនេះ > 'បើមួយមានពណ៌មួយ ...'។ ឧទាហរណ៍ៈ ប្រសិនបើ N=5 និង មួយ នឹង បាន សាកល្បង តម្លៃ ផ្សេង សម្រាប់ អក្សរ ដែល បាន ចាត់ តាំង លើក ទី ២ ដូច ជា ៣ ហើយ បាន ទទួល ដំណោះ ស្រាយ មួយ នោះ ការ បង្កើន តម្លៃ នេះ (និង តម្លៃ ផ្សេង ទៀត ទាំង អស់) ដែល មាន ២ នឹង ធ្វើ ឲ្យ ៣ ទៅ ៣×2 = 6 ≡ 1 mod 5 ដូច្នេះ ទៅ 1។ ដូច្នេះ សំបុត្រ ទី ២ ត្រូវ សាក ល្បង តែ ០ និង ១ ប៉ុណ្ណោះ។
- ការ សាកល្បង ក៏ ជា សំណួរ អំពី ពេល វេលា ផង ដែរ ។ មនុស្ស ម្នាក់ អាច សន្សំ ពេល វេលា ដោយ បញ្ចូល លេខ អវិជ្ជមាន នៅ ពេល ដែល វា លឿន ជាង ការ គណនា ជាង ចំនួន វិជ្ជមាន ។ ចំណុច ប្រទាក់ មិន ត្រូវការ លេខ នៅ ក្នុង ជួរ 0..N-1 ទេ & # 160; ។
- នៅពេលសមីការបត់ពណ៌ក្រហម បន្ទាប់មកស្ថានភាព ≡ មិនពេញចិត្តទេ ហើយយ៉ាងហោចណាស់មានចំនួនមួយត្រូវតែផ្លាស់ប្តូរ។ បន្ទាប់ មក សាកល្បង លេខ ផ្សេង ។ ដើម្បីកុំឲ្យខកខានលេខមួយអាចសាកល្បងលេខក្នុងលំដាប់ 0,1,...,N-1 និងឈប់នៅពេលដែលពណ៌ត្រូវបានរកឃើញ។
- ពេល តាមដាន វិញ ដោយ ចុច ប៊ូតុង undo ប្រសិន បើ មួយ មើល ឃើញ សមីការ ពណ៌ ស្វាយ នោះ មួយ អាច ចុច ប៊ូតុង undo ម្តងទៀត ដោយ មិន គិត ។ មូល ហេតុ គឺ ថា សមីការ ពណ៌ ស្វាយ មាន តែ អក្សរ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ហើយ សម្រាប់ អក្សរ នេះ មាន តម្លៃ តែ មួយ គត់ ដែល អាច ធ្វើ ទៅ បាន (mod N) ដូច្នេះ គ្មាន តម្លៃ ផ្សេង ទៀត ត្រូវ សាក ល្បង សម្រាប់ លិខិត នេះ ក្នុង ស្ថានភាព នេះ ទេ។
- ដើម្បី ស្វែងរក តាម ប្រព័ន្ធ និង មិន ត្រូវ បាត់បង់ លទ្ធភាព ពណ៌ ណា មួយ ដែល មនុស្ស ម្នាក់ អាច ចាប់ ផ្តើម ដោយ ចាត់ ចែង អថេរ នីមួយៗ នូវ តម្លៃ ០ ដែល ផ្ដល់ នូវ ដំណោះ ស្រាយ តូចតាច ហើយ បន្ទាប់ មក ចាប់ ផ្តើម តាមដាន ត្រឡប់ មក វិញ ដើម្បី ទទួល បាន ដំណោះ ស្រាយ ដែល មិន មែន ជា រឿង តូចតាច ។
- Knot diagrams ដែល ប្រើ ក្នុង ល្បែង នេះ មាន ការ ឆ្លង កាត់ តិចតួច រួច ហើយ ។ ប៉ុន្តែ ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម នឹង មិន តិចតួច នោះ វា នឹង មាន ប្រយោជន៍ ក្នុង ការ ធ្វើ ឲ្យ វា សាមញ្ញ ជា មុន សិន ។ បើ គ្មាន បច្ចេកទេស ខាង លើ សម្រាប់ ការ បង្កើន ល្បឿន មួយ នឹង ត្រូវ សាក ល្បង ពណ៌ NC ដែល N ជា ចំនួន ពណ៌ និង C គឺ ជា ចំនួន នៃ ការ ឆ្លង កាត់ = ចំនួន ខ្សែ អាត់ ។ ការ កាត់ បន្ថយ ចំនួន ការ ឆ្លង កាត់ ត្រឹម តែ 1 ទាប ជាង កិច្ច ខិតខំ ប្រឹងប្រែង ដោយ FACTOR of N ។
តើ មាន ចំណុច ដែល មិន អាច ពណ៌ បាន ឬ ទេ ?
ដ្យាក្រាម ដែល មាន ស្លាក ថា ' Tuzun-Sikora ' នៅ ផ្នែក ខាង លើ នៃ ទំព័រ នេះ គឺ គ្រាន់ តែ ជា ដ្យាក្រាម មួយ ក្នុង ចំណោម ដ្យាក្រាម ជា ច្រើន ដែល មិន ចេះ ចប់ មិន ចេះ ហើយ ដូច្នេះ វា ក៏ មិន អាច ពណ៌ បាន ដែរ ។
តើ មាន ពណ៌ កាន់ តែ ច្រើន ហើយ តើ វា អាច ត្រូវ បាន គណនា យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម knot មាន C ឆ្លង កាត់ នោះ វា ក៏ មាន ខ្សែ ក្រវាត់ C ដែរ ដូច្នេះ ប្រព័ន្ធ លក្ខខណ្ឌ មាន c×C coefficient matrix ដែល ជួរ នីមួយ ៗ តំណាង ឲ្យ ការ ឆ្លង កាត់ និង មាន ពីរ -1 និង មួយ 2 ឬ មួយ +1 និង -1 ( Reidemeister I loop ឆ្លង កាត់ ) ។ ជួរ ឈរ នីមួយ ៗ ត្រូវ គ្នា ទៅ នឹង ខ្សែ អាត់ និង មាន ចំនួន 2's ដូច ដែល ខ្សែ អាត់ មាន ការ ឆ្លង កាត់ ហួស ហេតុ និង ពីរ -1 ឬ មួយ -1 និង មួយ + 1 ។
លក្ខខណ្ឌ បង្កើត ប្រព័ន្ធ បន្ទាត់ ដែល មាន លក្ខណៈ ដូច គ្នា ( ផ្នែក ខាង ស្តាំ ដៃ មាន តែ 0s ) ប៉ុណ្ណោះ ហើយ សំណួរ គឺ ត្រូវ ស្វែង រក ម៉ូឌុល លេខ ពណ៌ ដែល ដំណោះ ស្រាយ ឯក រាជ្យ បន្ទាត់ មិន មែន ជា ផ្លូវ ការ ( ពណ៌ ) មាន ។
ដូច នៅ ក្នុង គណិត វិទ្យា លីនដា ម៉ាទ្រីស ត្រូវ បាន គេ នាំ ចូល ទៅ ក្នុង ទម្រង់ អង្កត់ ទ្រូង ដោយ ប្តូរ ជួរ ដេក និង បន្ថែម ជួរ ជា ច្រើន ទៅ ជួរ ផ្សេង ទៀត ។ លើស ពី នេះ ទៀត ជំហាន ទាំង នេះ ក៏ ត្រូវ បាន អនុវត្ត ដោយ ជួរ ឈរ ផង ដែរ ។ អ្វី ដែល មិន ត្រូវ បាន អនុញ្ញាត នៅ ទី នេះ គឺ ដើម្បី ពង្រីក ជួរ ដេក និង ជួរ ឈរ ដោយ លេខ មួយ ពីព្រោះ វា នឹង បន្ថែម ម៉ូដូឡូ លេខ ពណ៌ ដែល ការ កំណត់ ម៉ាទ្រីស នឹង សូន្យ ហើយ វា នឹង បន្ថែម ពណ៌ បន្ថែម ទៀត ។ អ្វី ដែល បាន ធ្វើ ឡើង ជំនួស វិញ គឺ ត្រូវ ជ្រើស រើស សមាសភាគ មិន មែន ជា សូន្យ ម្តង ហើយ ម្តង ទៀត នៃ ជួរ ឈរ/ជួរ ឈរ និយាយ ថា A,B, ដើម្បី ប្រើ ក្បួន ដោះស្រាយ របស់ Euclid ដែល បាន ពង្រីក ដើម្បី ស្វែង រក p,q, បំពេញ ចិត្ត pA + qB = GCD(A,B)។ p,q គឺជាពហុពហុបតិ្តនៃជួរទាំងពីរ/ជួរឈរ។ បន្ទាប់ ពី ប្ដូរ ជួរដេក /ជួរឈរ GCD(A,B) ក្លាយ ជា ធាតុ អង្កត់ផ្ចិត ។ លទ្ធ ផល គឺ ជា ម៉ាទ្រីស សរសៃ ឈាម ដែល ហៅ ថា ទម្រង់ ធម្មតា ស្ម៊ីត ដែល ជា ធម្មតា ជ្រុង ខាង ឆ្វេង កំពូល ចាប់ ផ្តើម ដោយ លេខ 1 ដែល ជា កត្តា នីមួយ ៗ នៃ ចំនួន បន្ទាប់ នៅ ក្នុង អង្កត់ ទ្រូង ។ ធាតុ អង្កត់ផ្ចិត ចុង ក្រោយ គឺ សូន្យ ដោយសារ ដ្យាក្រាម ចំណុច នីមួយ ៗ អនុញ្ញាត ឲ្យ ពណ៌ តូចតាច ដោយ ប្រើ តែ ពណ៌ មួយ ប៉ុណ្ណោះ ។ ដូច្នេះ វា ល្មម គ្រប់ គ្រាន់ ដើម្បី គណនា ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីធ បន្ទាប់ ពី បាន ទម្លាក់ ជួរ ឈរ ណា មួយ និង ជួរ ឈរ ណា មួយ ។
ការគណនាចំណុចដែលខូចរបស់ C×C coefficient matrix ផ្តល់ឱ្យសូន្យដោយសារតែជួរឈរបន្ថែមទៅសូន្យ។ ការ គណនា ការ កំណត់ បន្ទាប់ ពី បាន ទម្លាក់ ជួរ ដេក មួយ ហើយ ជួរ ឈរ មួយ ផ្តល់ នូវ លេខ មួយ ដែល ជា ផលិត ផល នៃ ចំនួន នៅ លើ អង្កត់ ទ្រូង នៃ ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីត ។ ដូច្នេះ ទម្រង់ ធម្មតា ស្ម៊ីធ ផ្តល់ ព័ត៌មាន បន្ថែម អំពី ការ ខិតខំ ដូច គ្នា នេះ ។
ឧទាហរណ៏៖ ចំពោះឌីយ៉ាក្រាមនេះ មាន ៨៣ កំណាត់ កំណាត់ ម៉ាទ្រីស មានទំហំ ៨៣×៨៣។
ទំរង់ធម្មតារបស់ Smith វាមាន អង្កត់ផ្ចិតផ្ដើមនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ ដោយ ៧៩ដង ១លើក ១ ធ្វើតាម ៣, ៣, 85837301265 (= ៣ x ៥ x 5722486751), ០. នោះមានន័យថាមានពណ៌ 3 ពណ៌ឯករាជ្យចំនួនបី និងពណ៌មួយ 85837301265 ដែលបញ្ជាក់ថា វាក៏មានពណ៌ 5 ពណ៌, 15ពណ៌, 3x5722486751-colouring និង 5x572486751-colouring។
ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម គ្មាន ពណ៌ ទេ នោះ ចំនួន អង្កត់ ទ្រូង ទាំង អស់ គឺ 1 លើក លែង តែ 0 នៅ ក្នុង ទី តាំង ចុង ក្រោយ ។
ដ្យាក្រាមខាងក្រោមជារបស់ knot 12a801 ។
ទម្រង់ធម្មតារបស់ Smith (SNF) មានក្នុង diagonal 9 1s បន្ទាប់ 3,45,0។ ក្នុង ទម្រង់ នេះ លេខ នីមួយៗ គឺ ជា កត្តា មួយ នៃ ចំនួន អង្កត់ ទ្រូង បន្ទាប់ ។ ហើយ ភាព ចម្រុះ នៃ ពណ៌ គឺ ចំនួន ធាតុ ទឹក នោម ដែល វា កើត ឡើង ជា កត្តា មួយ ។ ដូច្នេះ ដ្យាក្រាម នីមួយ ៗ នៃ ចំណុច នេះ មាន ពណ៌ 3 ឯក រាជ្យ ចំនួន ពីរ និង ពណ៌ 45 តែ មួយ គត់ ដែល បញ្ជាក់ ថា វា ក៏ មាន ពណ៌ តែ មួយ គត់ 5-,9-15 ។
ស្ថិតិនៃពណ៌ knot
https://cariboutests.com/qi/knots/colour3-15-N.txt
សម្រាប់តង់នីមួយៗដែលមានលេខឆ្លងកាត់ ≦ ១៥ គ្រប់ធាតុទាំងអស់នៃទម្រង់ធម្មតារបស់ស្ម៊ីធ ដែលមិនមែនជា 0 ឬ 1 ។ ចំនួន ទាំង នេះ ត្រូវ បាន គណនា ពី ដ្យាក្រាម មួយ ប៉ុន្តែ វា គឺ ជា ដ្យារៀន ដូច្នេះ វា ដូច គ្នា នៅ ពេល ដែល ត្រូវ បាន គណនា ពី ដ្យាក្រាម ណា មួយ នៃ ចំណុច នោះ ។ ប្រសិន បើ អ្នក ចូលចិត្ត រូបភាព នៃ ចំណង ពណ៌ នោះ អ្នក អាច ទាញ យក បដា ពី ការ ប្រមូល បដា របស់ យើង ដោយ ចុច លើ ទំព័រ ដើម 'Home' > 'Posters' ដែល នាំ ទៅ ដល់ https://cariboutests.com/images/posters/knot_colouring_portrait.pdf
។ តើពណ៌ N មានភាពរឹងមាំប៉ុណ្ណា?
តារាង ទី ១ ៖ ស្ថិតិ ពណ៌ មិន ស្ទាក់ ស្ទើរ
# នៃ cr : # នៃ ការ ឆ្លង កាត់
# នៃ kn: # នៃ knots
#នៃ cl1: #នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាតែបញ្ជីលេខពណ៌ចម្បង
#នៃ cl2: #នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាតែបញ្ជីនៃចំនួនពណ៌ចម្បង
#នៃ cl3: # នៃថ្នាក់រៀនពេលពិចារណាបញ្ជីនៃ Smith Normal Form Entries <> 1
abs: exp(ln(noofcl3[cr])/(cr-3))
= (cr-3)th root of (# of cl3)
#នៃ cr | #នៃ kn | #នៃ cl1 | kn/cl1 | #នៃ cl2 | kn/cl2 | #នៃ cl3 | kn/cl3 | abs ↑ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 | 1 | 1 | 1.00 | 1 | 1.00 | 1 | 1.00 | |
4 | 1 | 1 | 1.00 | 1 | 1.00 | 1 | 1.00 | 1.000 |
5 | 2 | 2 | 1.00 | 2 | 1.00 | 2 | 1.00 | 1.414 |
6 | 3 | 3 | 1.00 | 3 | 1.00 | 3 | 1.00 | 1.442 |
7 | 7 | 7 | 1.00 | 7 | 1.00 | 7 | 1.00 | 1.627 |
8 | 21 | 13 | 1.62 | 14 | 1.50 | 16 | 1.31 | 1.741 |
9 | 49 | 25 | 1.96 | 29 | 1.69 | 33 | 1.48 | 1.791 |
10 | 165 | 47 | 3.51 | 53 | 3.11 | 62 | 2.66 | 1.803 |
11 | 552 | 81 | 6.81 | 93 | 5.94 | 116 | 4.76 | 1.812 |
12 | 2176 | 136 | 16.00 | 162 | 13.43 | 203 | 10.72 | 1.805 |
13 | 9988 | 234 | 42.68 | 271 | 36.86 | 342 | 29.20 | 1.792 |
14 | 46972 | 409 | 114.85 | 488 | 96.25 | 623 | 75.40 | 1.795 |
15 | 253293 | 722 | 350.82 | 855 | 296.25 | 1100 | 230.27 | 1.792 |
តើ លេខ ពណ៌ ធំ ជាង គេ បំផុត សម្រាប់ ចំណុច ដែល មាន ការ ឆ្លង កាត់ C ពឹង ផ្អែក លើ C យ៉ាង ដូចម្ដេច ?
តារាងទី២: តារាង B(C) = Nmax1/(C−1)
C | អតិបរមា N | knot | ខ(គ) |
---|---|---|---|
3 | 3 | 31 | 1.732 |
4 | 5 | 41 | 1.710 |
5 | 7 | 52 | 1.627 |
6 | 13 | 63 | 1.670 |
7 | 19 | 76 | 1.634 |
8 | 37 | 817 | 1.675 |
9 | 61 | 933 | 1.672 |
10 | 109 | 10115 | 1.684 |
11 | 199 | 11a301 | 1.698 |
12 | 353 | 12a1188 | 1.705 |
13 | 593 | 13a4620 | 1.703 |
14 | 1103 | 14a16476 | 1.714 |
15 | 1823 | 15a65606 | 1.710 |
តើ មាន កម្មវិធី កុំព្យូទ័រ ដែល អាច គណនា ពណ៌ បាន ឬ ទេ ?
AsciiKnots
គឺ ជា កម្មវិធី កុំព្យូទ័រ ដើម្បី គណនា សម្រាប់ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ ដែល បាន ផ្តល់ ដោយ ការ គណនា ទម្រង់ ធម្មតា របស់ ស្ម៊ីត នៃ ម៉ាទ្រីស ដែល មាន ជាតិ ពុល ។ ប្រសិន បើ ដ្យាក្រាម knot មិន មាន ការ ឆ្លង កាត់ ច្រើន ពេក នោះ វា ក៏ គណនា ដោយ ការ សាក ល្បង និង ការ ស្វែង រក កំហុស ដែល បាន ផ្តល់ ឲ្យ នូវ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ ឬ លេខ ពណ៌ ទាំង អស់ រួម ទាំង ពណ៌ របស់ ពួក គេ ផង ដែរ ។ក្រៅ ពី ពណ៌ កម្មវិធី អាច គណនា បាន ច្រើន ជាង នេះ ។ អាចទាញយកបានពី
https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz
។ AsciiKnots
រត់ក្រោម linux។ អ្នក ប្រើ បង្អួច តឹង រឹង អាច ដំឡើង Ubuntu linux ដោយ ឥត គិត ថ្លៃ ជា កម្មវិធី នៅ ក្រោម Windows 10 ។ លីនុច បញ្ជា ឲ្យ ដក កំណែ ដែល បាន ទាញ យក ចាស់ ចេញ ដើម្បី ទាញ យក កំណែ ចុង ក្រោយ បំផុត ដើម្បី ដោះ វា ចេញ ហើយ ដើម្បី ចាប់ ផ្តើម វា
rm AsciiKnots.tar.gz
wget https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz
tar xfz AsciiKnots.tar.gz
./AsciiKnots
មុខងារ ពណ៌ ដែល មាន កម្រិត ក៏ មាន នៅ លើ https://cariboutests.com/games/knots/knoteditor/ បន្ទាប់ ពី ជ្រើស រើស 'Tools' > 'Colour Knot'
យោង
[២] ជ. ហ. ព្រិស្សធីកគី ៣-ពណ៌ និង អាំងតង់ស្យុត ១០។ Banach Center Publications, Vol. 42, "Knot Theory", Warszawa, 1998, 275−295.
[៣] D. Rolfsen, Table of Knots and Links. Appendix C ក្នុង Knots និង Links។ Wilmington, DE: Publish ឬ Perish Press, pp. 280-287, 1976.
[៤] ជ. ឆ. ឆា និង ស៊ី លីវស្តុន, ណុត អ៊ីនហ្វូ៖ តុ របស់ ណុត អ៊ីនវ៉ារីត http://www។ indiana.edu/~knotinfo
[៥] «ការ ចាត់ ថ្នាក់ ពណ៌ របស់ Knots ជាមួយ នឹង ការ ឆ្លង កាត់ លេខ រហូត ដល់ ១៥», https:// cariboutests.com/qi/knots/colour3-15.txt
[៦] ធី. វ៉ូលហ្វៈ "A Knot Workbench", https://cariboutests.com/games/knots/AsciiKnots.tar.gz
Follow ឬ subscribe សម្រាប់ updates: