Barcha kafel raqamlarining yig'indisi birlashishda o'zgarmaydi, chunki summaning ko'payishi uchun yagona yo'l tasodifiy kafel avlodidir. Shuning uchun har qanday burilishdan keyin yig'indi 90% imkoniyat bilan 2 taga yoki 10% imkoniyat bilan 4 ga oshadi.
P (n) o'yinning biron bir nuqtasida umumiy summa aynan N = 2n bo'lishi ehtimoli bo'lsin va Q(n) = 1 − P(n) summa hech qachon N ga teng bo'lmaslik ehtimoli bo'lsin.
O'yin boshida summa 100% ehtimollik bilan nolga teng, ya'ni P(0) = 1 va Q(0) = 0.
N juft sonining barcha kafellarning yig'indisi bo'lishi mumkin emasligining yagona imkoniyati shundaki, N-2 summa sifatida sodir bo'ldi (ehtimollik 1−Q(n-1) ) VA 4 hosil bo'ladi ( ^{ehtimollik 1}⁄₁₀ bilan). Shuning uchun ehtimollik Q(n) = (1−Q(n-1))/(10) bo'lib, bu chiziqli takrorlanish munosabati 10Q(n) + Q(n-1) = 1.
Bu bir hil bo'lmagan chiziqli takrorlanish munosabatining umumiy yechimi (o'ng tomonda 1 bilan) bir hil versiyaning umumiy yechimiga (o'ng tomonda 0 bilan) va bir hil bo'lmagan versiyaning alohida yechimiga teng.
Bir hil versiyaning umumiy yechimi 10Q(n) + Q(n-1) = 0 Q(n) = a(−¹⁄₁₀)ⁿ bo'lib, o'zboshimchalik bilan son.
Bir hil bo'lmagan versiyaning alohida yechimi Q (n) = ¹/₁₁ barcha n uchun, chunki 10(¹/₁₁) + ¹/₁₁ = 1.
a konstantasi n=0 holatidan aniqlanadi: 0 = Q(0) = a(−¹⁄₁₀)⁰ + ¹/₁₁ = a + ¹/₁₁ va shuning uchun a = −^1/11,
Q uchun formulaga a almashtirish Q(n) = ¹/₁₁ − ¹/₁₁(−¹⁄_{_{1⁄_1⁄10)ⁿ ni beradi va shuning uchun}}
P(n) = 1 − Q(n) = ( 10 + (−¹_⁄10)ⁿ )/(11). ■

2048

Your Previous Games