Поскольку сумма всех номеров плиток не изменяется при слиянии, единственный способ увеличения суммы — это создание случайной плитки. Следовательно, после любого хода сумма увеличивается на 2 с вероятностью 90% или на 4 с вероятностью 10%.
Пусть P(n) — вероятность того, что в какой-то момент игры общая сумма точно равна N = 2n, а Q(n) = 1 − P(n) — вероятность того, что сумма никогда не будет равна N.
В начале игры сумма равна нулю с вероятностью 100%, т.е. P(0) = 1 и Q(0) = 0.
Единственная возможность того, что четное число N не может быть суммой всех плиток, заключается в том, что N−2 произошло как сумма (с вероятностью 1−Q(n−1) ) И получена 4 (с вероятностью ¹⁄₁₀). Таким образом, вероятность равна Q(n) = (1−Q(n−1))/(10), что является линейным отношением рекуррентности 10Q(n) + Q(n−1) = 1.
Общее решение этого неоднородного линейного рекуррентного соотношения (с 1 в правой части) равно общему решению однородной версии (с 0 в правой части) плюс частное решение неоднородной версии.
Общее решение однородного варианта 10Q(n) + Q(n−1) = 0 имеет вид Q(n) = a(−¹_⁄10)ⁿ, где a является произвольным числом.
Частное решение неоднородного варианта равно Q(n) = ¹/₁₁ для всех n , потому что 10(¹/₁₁) + ¹/₁₁ = 1.
Константа a определяется из случая n=0: 0 = Q(0) = a(−¹_⁄10)⁰ + ¹/₁₁ = a + ¹/₁₁ и, следовательно, a = −¹/₁₁,
Подставляя a в формулу Q, мы получаем Q(n) = ¹/₁₁ − ¹/₁₁(−¹⁄_{_{1⁄1_⁄10)ⁿ и, следовательно}},
P(n) = 1 − Q(n) = ( 10 + (−¹_⁄10)ⁿ )/(11). ■

2048

Ваши предыдущие игры