از انجا که مجموع تمام اعداد کاشی در ادغام تغییر نمی کند، تنها راه افزایش مبلغ توسط تولید کاشی تصادفی است. بنابراین، پس از هر نوبت، مبلغ 2 با شانس 90٪ یا 4 با شانس 10٪ افزایش می یابد.
فرض کنید P(n) احتمال این باشد که در برخی از نقاط بازی مجموع دقیقا N = 2n باشد و Q(n) = 1 − P (n) احتمال این است که مجموع هرگز برابر N نباشد.
در ابتدای بازی مجموع صفر با احتمال 100٪ است، یعنی P(0) = 1 و Q(0) = 0.
تنها احتمال اینکه یک عدد حتی N نتواند مجموع تمام کاشیها باشد این است که N-2 به صورت یک مجموع رخ داده باشد (با احتمال 1−Q(n−1) ) و یک 4 تولید شده باشد (با احتمال ^1⁄10). بنابراین احتمال Q(n) = (1−Q(n−1))))/(10) است که رابطه بازگشتی خطی 10Q(n) + Q(n−1) = 1 است.
راه حل کلی این رابطه بازگشتی خطی ناهمگن (با یک 1 در سمت راست) برابر است با راه حل کلی نسخه همگن (با 0 در سمت راست) به علاوه یک راه حل خاص از نسخه ناهمگن .
راه حل کلی نسخه همگن 10Q(n) + Q(n-1) = 0 Q(n) = a(−^1⁄10)ⁿ با یک عدد دلخواه است.
یک راه حل خاص از نسخه ناهمگن Q(n) = ^1/11 برای همه n است زیرا 10 (1/₁₁) + 1/¹¹ = 1 است.
ثابت a از حالت n =0 تعیین می شود: 0 = Q(0) = a(−1⁄₁₀)⁰ + ¹/₁₁ = a + ¹/₁₁ و بنابراین a = -¹/₁₁،
جایگزینی a به فرمول Q باعث می شود Q (n) = 1/₁₁ − ¹/₁₁ (-¹⁄_{1⁄_{1⁄1_⁄10) ⁿ و بنابراین}}
P(n) = 1 − Q(n) = ( 10 + (−^1⁄10)ⁿ )/(11). ■

2048

بازی‌های قبلی شما