بسته بندی^©

آنچه که به نظر می‌رسد مفیدتر باشد این است که در مورد بخش‌پذیری اعداد، به ویژه بخش‌پذیری بر 2 فکر کنید. این موضوع نظریه اعداد است. چیزهایی که روی هم قرار می‌دهیم اشیاء هندسی هستند، اما این بدان معنا نیست که دانش هندسی برای حل معماها مورد نیاز است. از هندسه باید بدانیم مساحت یک مربع یا مستطیل چقدر است ، اما نه بیشتر.

برای برخی از معماها، فکر کردن در مورد تقارن نیز بسیار مفید است.

در اینجا چند نکته را بیان می‌کنیم :

• یک مساله سخت را به موارد ساده‌تر، یعنی به اهداف ساده‌تر تقسیم کنید. به عنوان مثال، برای پر کردن کل جعبه، باید هر لایه را پر کرد.
• قطعه‌ها را به صورت متقارن مرتب کنید، به خصوص اگر جعبه متقارن باشد مانند یک مکعب 3×3×3 یا جعبه مربع شکل 1×7×7.
• از اطلاعات داده شده نهایت استفاده را ببرید. اندازه قطعه‌ها چقدر است؟ چه تعداد از آنها شکل یکسانی دارند؟

بقیه این «کمی غذا برای تفکر» با هدف حل همه معماها بدون آزمون و خطا و با مطرح کردن سوال‌های ساده و پاسخ دادن به آنها است.

هر یک از شکل‌هایی که باید در کنار هم قرار بگیرند تا جسم بزرگتر را بسازند.

یک قطعه فرد قطعه‌ای است که همه طول‌های آن فرد باشد، مانند یک قطعه 1×1×1 یا یک قطعه 1×3×5.

یک قطعه زوج قطعه‌ای است که حداقل دو طول زوج داشته باشد، مانند 1×2×4 یا 2×2×2.

آیا همه قطعه‌ها زوج یا فرد هستند ؟

مکعب مستطیل یک منشور مستطیلی است. برای اشاره به پوسته خالی مکعب مستطیل از کلمه «جعبه» استفاده می‌کنیم. پس حجم داخلی یک جعبه همان مکعب مستطیل است. در این بازی یک جعبه باید توسط قطعه‌ها پر شود و به کمک قطعه‌ها یک مکعب مستطیل ایجاد شود.

یک برش از یک جعبه به ضخامت 1 در جهت موازی با دو وجه آن را یک لایه می‌نامیم. یک جعبه 3 ×4 ×5 دارای 3 لایه با اندازه 4 ×5 ، 4 لایه از اندازه 3 ×5 و 5 لایه از اندازه 3 ×4 است.

یک جعبه 1×5×7 چند لایه دارد ؟

به طور خاص، یک مکعب 1×1×1، نه یک مکعب بزرگتر. یک قطعه 1×1×1 از 1 مکعب تشکیل شده است، در حالی که یک قطعه 1×1×3 از 3 مکعب تشکیل شده است.

چند قطعه متصل به یکدیگر یک بلوک ساختمانی را تشکیل می‌دهند. بلوک‌های ساختمانی جالب یک تقارن خواهند داشت. برای معماهای سخت‌تر، چندین بلوک ساختمانی همنهشت یا همنهشت آیینه‌ای به علاوه یک قطعه مرکزی جعبه را پر می‌کند.

نه. یک قطعه 1×2×2 از تعداد زوجی مکعب تشکیل شده است. بنابر این، هر تعداد از قطعه‌های1×2×2 روی هم تعداد مکعب زوجی خواهند داشت. چون یک مکعب 3×3×3 از تعداد فردی مکعب تشکیل شده است، نمی‌توان آن را به این روش ساخت.

در چند بخش بعدی، بررسی خواهیم کرد که چگونه بخشپذیری، به ویژه بر 2، تعیین می‌کند که برای حل معماهای خاص، قطعه‌ها چگونه باید کنار هم قرار گیرند.

پاسخ باز هم منفی است. مساحتی از یک لایه که می‌تواند توسط یک قطعه پوشانده شود، برابر مساحت یکی از وجه‌های آن قطعه است. درست است ؟

وجه‌های یک قطعه 1×2×2 چگونه هستند ؟

مساحت این وجه‌ چقدر است و چه مساحت مشترکی دارند؟

آیا این نکته برای همه قطعه‌های زوج صادق است؟

ما یاد گرفتیم که مکعب‌های با طول یال فرد را نمی‌توان فقط با قطعه‌های زوج ساخت. لایه‌ای با مساحت فرد نیز نمی‌تواند با قطعه‌های زوج پر شود. بنابر این، معمای 3×3×3 شماره 2 دارای چند قطعه 1×1×1 است که قطعه‌های فرد هستند.

در اینجا یک سوال مفید دیگر وجود دارد که باید در نظر بگیرید :

آیا یکی از دو نوع قطعه (1×1×1 و 1×2×2) «با ارزش» تر از دیگری است ؟

بله ! سه قطعه 1×2 ×5 را می‌توان در کنار هم قرار داد تا شکل 1 ×6 ×5 را بسازند (3 & بار 2 = 6). سپس می‌توانیم یک شکل 1×6×5 دیگر بسازیم و با کنار هم گذاشتن آنها یک شکل بزرگتر 1×6×10 بسازیم. در نهایت، دو شکل 1×6×10 را می‌توان در کنار هم قرار داد تا یک مکعب مستطیل 2×6×10 را تشکیل دهند.

نکته

نکته دیگر ؟

پاسخ

فرض کنید ما فقط قطعه‌هایی با اندازه x × y × z داریم. در این صورت، ساختن مکعب مستطیل X ×Y × Z امکان‌پذیر است اگر عددهای صحیح و مثبت A، B، C وجود داشته باشند بطوریکه Ax، By و Cz به ترتیب، برابر X، Y و Z باشند.

در این مورد از چند قطعه استفاده خواهد شد؟

چرا Ax، By و Cz به هر ترتیبی می‌توانند برابر با X، Y و Z باشند؟

خیر. اگر همه قطعه‌های 1×2×3 در یک جهت چیده شوند، مکعب مستطیل دارای اندازه A × (B × 2) × (C ×3) خواهد بود. اما قطعه‌ها می‌توانند جهت‌های متفاوتی داشته باشند و باز هم یک مکعب مستطیل را تشکیل دهند. به عنوان مثال، قطعه‌های 1×2×3 می‌توانند یک مکعب 1×5×6 را تشکیل دهند، با اینکه 1، 5 و 6 هیچ تناسبی با A، B × 2 و C × 3 ندارند. مثال دیگر، معمای1×7×10 شماره1 است که از قطعه‌های 1×2×5 تشکیل شده است.

در این دو مثال، چه رابطه‌ای بین طول‌های قطعه و طول‌های مکعب مستطیل وجود دارد ؟

می‌توان این عمل را به هر ترتیبی تکرار کرد، ابتدا یک مکعب مستطیل از یک قطعه تولید کرد و سپس از این مکعب مستطیل به عنوان یک «قطعه» برای تولید یک مکعب مستطیل بزرگتر استفاده کرد. ما قبلا بحث کردیم که چگونه یک مکعب مستطیل 2×6×10 را می‌توان از قطعه‌های 1×2×5 تشکیل داد. در این حالت، فقط یک عمل مورد نیاز است، به ترتیب، ضرب در 2، 3 و 2 : (1، 2، 5) → (2 × 1، 3 × 2، 2 × 5) = (2، 5، 10).

بنابر این، قطعه‌هایی با اندازه x × y × z نه تنها می‌توانند مکعب‌هایی با اندازه Ax × By × Cz بسازند، بلکه به عنوان مثال، با اندازه x × (y + z) × lcm(y,z) نیز می‌توانند بسازند، که در آن lcm(y,z) کمترین مضرب مشترک y و z است. قرار دادن چندین مورد از این بلوک‌های سازنده در کنار هم، مکعب‌هایی با اندازه Ax × B(y + z) + C(lcm(y,z)) می‌سازد.

خیر، زیرا 3 بر 2 بخشپذیر نیست.

قبلا مشاهده کردیم که هر قطعه می‌تواند یک مکعب مستطیل تشکیل دهد که طول آن چند برابر طول قطعه باشد. به نظر می‌رسد که طول هر مکعب مستطیل که توسط قطعه‌های هارمونیک یکسان تشکیل شده است باید چند برابر طول قطعه‌ها باشد. یعنی اگر یک قطعه هارمونیک دارای طول‌های x ، y و z باشد ، هر مکعب مستطیل تشکیل شده از کپی‌های این قطعه باید یک طول قابل تقسیم بر x ، دیگری بر y و سومی قابل تقسیم بر z داشته باشد. در حالی که این ویژگی یک گزاره ساده به نظر می‌آید، اما اثبات آن به مفاهیمی فراتر از محدوده این وب سایت نیاز دارد. پیوند مربوط به اثبات آن را می‌توانید در بخش «قدردانی» بیابید.

چگونه این ویژگی با چهار عملی که در بالا مورد بحث قرار دادیم سازگار است ؟

در نتیجه، هر مکعب مستطیل تشکیل شده از قطعه‌های هارمونیک می‌تواند همه قطعه‌ها را در یک جهت داشته باشد. بنابر این، اگر می‌خواهیم از قطعه‌های هارمونیک مشابه، یک مکعب مستطیل تشکیل دهیم ، کافی است سعی کنیم همه آنها را در یک جهت مرتب کنیم. اگر این کار امکانپذیر نباشد، مکعب مستطیل نمی‌تواند ساخته شود.

چون یک قطعه 1×2×2 هارمونیک است، هر مکعب مستطیلی که از کپی‌های این قطعه تشکیل شده است باید دارای طول‌های A، B ×2 و C × 2 ، به ازای عددهای صحیح مناسب A، B و C باشد. تصویر زیر یک مکعب مستطیل 5×4×4 را نشان می‌دهد که توسط قطعه‌های 1×2×2 ساخته شده است که همگی جهت یکسانی دارند.

مقادیر A، B و C چیست؟

هنگام بسته‌بندی با قطعه‌های هارمونیک، آیا قطعه‌ها باید در یک جهت قرار گیرند؟

هنگام کار با یک قطعه غیر هارمونیک x × y × z، مکعب‌ مستطیل‌هایی وجود دارند که می‌توانند ساخته شوند که اندازه آنها به ازای هیچ عدد صحیح A، B، C ، به صورت Ax × By × Cz نباشد. به عنوان مثال، یک مکعب مستطیل1×5×6 را می‌توان با قطعه‌های 1×2×3 ایجاد کرد. این نتیجه عملیات سوم است، همانطور که قبلا بحث شد.

توجه به این نکته ضروری است که تعداد مکعب‌ها در مکعب مستطیل همیشه باید بر تعداد مکعب‌های قطعه بخشپذیر باشد. هنگامی که طول‌های مکعب هیچکدام مضربی از طول‌های متفاوت قطعه نباشد، یکی از طول‌های مکعب‌ مستطیل‌ها به دلیل روش‌های سوم و چهارم، یک مضرب مشترک با حداقل 2 طول قطعه خواهد بود. از این واقعیت می‌توان برای تعیین اینکه آیا مکعب‌ مستطیل‌های خاصی می‌توانند از قطعه‌های غیر هارمونیک تشکیل شوند یا خیر استفاده کرد.

آیا قطعه 2 ×4 ×12 می‌تواند یک مکعب مستطیل با اندازه 4 ×8 ×36 را تشکیل دهد؟ در مورد مکعب با اندازه 10 ×10 ×12 چطور؟

آیا قطعه‌های اندازه 1 × 3 ×5 می‌توانند یک مکعب مستطیل با اندازه 2 ×15 ×8 تشکیل دهند؟ در مورد مکعب 3×9×14 چطور؟

در اینجا مروری بر آنچه آموخته‌ایم آورده شده است :

• اگر طول مکعب مضربی از طول یک قطعه باشد، می‌توان آن را از کپی‌های آن قطعه تشکیل داد، صرف نظر از اینکه قطعه هارمونیک است یا خیر. چنین مکعب‌هایی را می‌توان با همه قطعه‌ها در جهت یکسان تشکیل داد ، اما ممکن است ترتیباتی نیز وجود داشته باشد که در آن قطعه‌ها جهت گیری‌های متفاوتی داشته باشند.
• اگر یک قطعه هارمونیک باشد، هر مکعب تشکیل شده باید دارای طول‌هایی باشد که چند برابر طول قطعه باشد. در نتیجه، هر مکعبی که از قطعه‌های هارمونیک تشکیل شده است ممکن است همه قطعه‌ها را در جهت یکسان داشته باشد، اگرچه این مورد همیشه ضروری نیست.
• اگر یک قطعه هارمونیک نباشد ، می‌توان مکعب‌هایی را تشکیل داد که طول آنها مضربی از طول قطعه نیست (به عملیات سوم و چهارم مراجعه کنید)‌. در این حالت ، همه قطعه‌ها نمی‌توانند جهت یکسانی داشته باشند. با استفاده از قطعه‌های غیر هارمونیک، می‌توان با استفاده از 4 روشی که قبلا توضیح داده شد، مکعب‌هایی با اشکال مختلف ایجاد کرد.

خیر. در این زمینه، هیچ چیز خاصی در مورد 3 بعد وجود ندارد. در واقع قرار دادن یکی از طول‌ها برابر با 1 معادل کاهش مساله به 2 بعد است. نتایج در بیش از 3 بعد نیز معتبر است. به عنوان مثال، یک قطعه 1×3×12×24 هارمونیک است. بنابر این، هر مکعب 4 بعدی که از این قطعه‌های 4 بعدی تشکیل شده است باید دارای ابعاد A، B ×3، C × 12 و D × 24 به ازای اعداد صحیح مثبت و مناسب A، B، C و D باشد.