Qadoqlash©
Ushbu jumboq g'alaba qozondi / o'ynadi: 16649/25331
Nima uchun men bu "Fikr uchun ovqat" ni o'qishim kerak?
Chunki siz hayron bo'lasiz.
Bir nechta jumboqlarni sinab ko'rganingizdan so'ng, ularni hal qilish uchun matematikaning qaysi sohasi eng foydali deb o'ylaysiz:
1) Algebra, 2) Ehtimollar nazariyasi, 3) Geometriya, 4) Sonlar nazariyasi, 5) Simmetriyalar, 6) Boshqa soha?
Eng foydali bo'lgan narsa bu raqamlarning bo'linishi, ayniqsa 2 ga bo'linishi haqida o'ylashdir. Bu Sonlar nazariyasining mavzusi. Biz yig'adigan narsalar geometrik ob'ektlardir, ammo bu jumboqlarni hal qilish uchun geometrik bilim kerak degani emas. Geometriyadan biz kvadrat yoki to'rtburchakning maydoni nima ekanligini bilishimiz kerak, lekin bundan boshqa hech narsa yo'q.
Ba'zi jumboqlar uchun simmetriya haqida o'ylash ham juda foydali.
Tez maslahatlar
Bular yordam so'rab murojaat qilganlar uchun maslahatlar, ammo matematik ma'lumotga qiziqmaydiganlar.
- Har bir jumboq uchun "Bu jumboq g'olib bo'ldi / o'ynadi" yonidagi raqamlarga qarab, qaysi biri eng oson ekanligini tekshiring. Eng oson jumboqlardan boshlash har doim yaxshi fikrdir va sizga interfeysni boshqarish bilan mashg'ulot beradi.
- "2×3×3 1" va "2×3×3 2" jumboqlari sinov va xato bilan osongina hal qilinadi.
- Agar "1×7×10 1" jumboqidagi birinchi urinishingiz muvaffaqiyatli bo'lmasa, keyingi urinishda qismlarni aylantiring.
- "1×7×7 1" - simmetriya haqida o'ylash yordam beradigan jumboq. Buning sababi shundaki, konteyner (panjara) 4 ta teng uzunlikdagi kvadrat taglikka ega va bizda bir xil shakldagi 4 ta uzun qism bor. Shuning uchun ularni nosimmetrik ravishda qo'yish kerak. Faqat bitta binafsha kvadrat shaklidagi parcha mavjud. 90 ° aylanadigan nosimmetrik yechimga ega bo'lish uchun bu parcha o'rtada bo'lishi kerak. Boshqa har qanday joy eritmaning 90 ° simmetriyasini buzadi.
- Qorong'u tugmachalarga ega jumboqlar ko'proq fikrlashni talab qiladi. 3×3×3 jumboqlariga o'tishdan oldin "5×3 2" jumboqini to'liq tushunishdan boshlang.
Qanday qilib bu jumboqlarni sinov va xatosiz hal qilish mumkin?
Mana ba'zi maslahatlar:
- Qiyin muammoni osonroq bo'lganlarga, ya'ni pastki maqsadlarga ajrating. Masalan, barcha konteynerni to'ldirish uchun har bir qatlamni to'ldirish kerak.
- Qismlarni nosimmetrik tarzda joylashtiring, ayniqsa, konteyner 3 & marta 3 va marta 3 kub yoki 1 marta 7 va marta 7 kvadrat shaklidagi konteyner kabi nosimmetrik bo'lsa.
- Berilgan ma'lumotlardan maksimal darajada foydalaning. Qismlarning o'lchamlari qanday? Ularning qanchasi bir xil shaklga ega?
Ushbu "Fikr uchun oziq-ovqat" ning qolgan qismi barcha jumboqlarni sinov va xatosiz hal qilish, buning o'rniga oddiy savollar bilan topish va ularga javob berish maqsadiga ega.
Taʼriflar
Aniqlik uchun, qadoqlash muammolarini muhokama qilish uchun foydalanadigan bir nechta atamalar mavjud:
Soni
Katta qattiq hosil qilish uchun birga qo'yiladigan shakllardan biri.
Odd parcha - bu uzunligi hammasi g'alati bo'lgan parcha, masalan, 1×1×1 parcha yoki 1×3×5 parcha.
Bir parcha kamida ikkita teng uzunlikka ega bo'lsa ham, masalan 1×2×4 yoki 2×2×2.
Barcha qismlar juftmi yoki toqdirmi?
YO'Q. 1×2×3 kabi aniq bitta teng uzunlikka ega bo'lgan parcha ikkala ta'rifga ham mos kelmaydi. Keyingi bo'limlarda biz toq va juft qismlarga e'tibor qaratamiz.
Kuboid/Konteyner
Kuboid - bu to'rtburchaklar prizmasi. Biz kuboidning bo'sh qobig'iga murojaat qilish uchun "konteyner" so'zini ishlatamiz. Biz konteynerning tarkibi sifatida "kuboid" ga murojaat qilamiz. Konteyner bo'laklar bilan to'ldirilishi kerak va bo'laklardan kub hosil qilinadi.
Boʻsh qatlam
Qatlam - bu konteynerning yuziga parallel yo'nalishda qalinligi 1 bo'lak. A 3 ×4 ×5 konteyner hajmi 4 va marta5, hajmi 4 qatlami 3×5 va hajmi 5 qatlamlari 3×4 hajmi 3 qatlamlari bor4.
1 ×5 va times7 konteynerida necha qatlam mavjud?
U bitta 5 ×7 qatlami, besh 1 va 7 qatlami va etti 1 va marta5 qatlamlari mavjud. Hammasi bo'lib 1 + 5 + 7 = 13 qatlamlar mavjud.
Kub
Xususan, 1×1×1 kub, katta kub emas. A 1×1×1 parcha 1 kubdan iborat, 1×1×3 parcha esa 1 &marta 1 &marta 3 = 3 kubdan iborat.
Qurilish bloki
Bir-biriga biriktirilgan bir nechta qismlar qurilish blokini hosil qiladi. Qiziqarli qurilish bloklari simmetriyaga ega bo'ladi. Qiyin jumboqlar uchun bir nechta bir xil yoki oynaga o'xshash qurilish bloklari va markaz parchasi konteynerni to'ldiradi.
strategiya
Qiyin muammoni hal qilishning yarmi qiyin muammoni kichik muammolarga bo'lishdir.
Buning uchun o'zingizga oddiy savollar berilishi kerak. Quyidagi savollar qadoqlash jumboqlarini hal qilishda foydali bo'ladi.
Har bir kuboid 1×2×2 o'lchamdagi qismlardan shakllanishi mumkinmi? Masalan, 3×3×3 kuboidni faqat 1×2×2 o'lchamdagi qismlar yordamida shakllantirish mumkinmi?
YO'Q. A 1×2×2 parcha juft sonli kublardan iborat. Shuning uchun, har qanday soni 1 ×2 & marta2 dona birgalikda kublarning umumiy soniga ega bo'ladi. 3 ×3 va times3 kuboid toq sonli kublardan iborat bo'lgani uchun u bunday shakllanmaydi.
Keyingi bir necha bo'limda, biz qanday qilib bo'linish, ayniqsa 2 bilan, ba'zi jumboqlarni hal qilish uchun qismlarni qanday joylashtirish kerakligini aniqlaydi.
1 ×2 & times2 dona kamida 3 ×3 va times3 konteynerining har qanday qatlamini to'ldirishi mumkinmi?
Javob yana YO'Q. Bir parcha egallab olinishi mumkin bo'lgan qatlamdagi maydon parchaning yuzlaridan birining maydonidir, to'g'rimi?
1×2×2 parchaning yuzlari qanday?
A 1×2×2 parchasi ikki juft parallel 1×2 yuzlarga va bir juft 2×2 yuzlarga ega.
Ushbu yuzlarning joylari qanday va ularning umumiyligi nimada?
Maydonlar 1 &marta 2 = 2 va 2 &marta 2 = 4. 2 va 4 ikkalasi ham juft sonlar.
Biz 1×2×2 parchasi har bir qatlamda faqat juft miqdordagi kublarni (2 yoki 4) egallashi mumkinligini kuzatamiz.
Bu barcha teng qismlar uchun to'g'rimi?
Bir parchaning har bir yuzi ikki uzunlikka ega. Juft qismlar eng ko'pi bilan bitta to'q uzunlikka ega bo'lganligi sababli, ularning har bir yuzi kamida bitta teng uzunlikka ega bo'ladi. Chunki even × odd = even, har bir yuzning maydoni teng bo'ladi. Shuning uchun biz ularni hatto bo'laklar deb ataymiz!
Biz to'g'ri tomon uzunligi bo'lgan kuboidlarni faqat juft bo'laklardan hosil qilish mumkin emasligini bilib oldik. Tekis maydonga ega qatlam ham juft bo'laklar bilan to'ldirish mumkin emas. Shuning uchun, "3×3 ×3 2" jumboqida bir nechta 1×1×1 qismlar mavjud bo'lib, ular g'alati bo'laklardir.
Bu erda ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan yana bir foydali savol:
Ikki turdagi buyumlardan biri (1×1×1 va 1×2×2) ikkinchisidan ko'ra ko'proq "qadrli"?
HA. Agar bizda faqat 1×1×1 bo'laklari bo'lsa, unda har qanday jumboq arzimas bo'lar edi, rozi bo'lasizmi? Agar bizda faqat 1×2×2 dona bo'lsa, unda yuqorida ko'rsatilganidek, g'alati idishni to'ldirish mumkin emas edi.
Aniq savol: 1 & times1 va 1 konteynerni to'ldirishi mumkin bo'lgan 3 ×3 va 3 qismlarning minimal soni qanday?
Tabiiyki, quyidagi savollar kelib chiqadi:
Nima uchun uchta 1 & marta 1 va marta 1 qism etarli?
Bu savolga javob berish uchun biz toq qatlamlar sonini (toq maydonli qatlamlar) juft bo'laklar va faqat 3 kub bilan to'ldirilishi mumkin bo'lgan toq maydon qatlamlari soniga solishtiramiz.
3 ×3 & times3 konteynerida qancha qatlam mavjud?
Uchta yo'nalishning har birida (kenglik, balandlik, chuqurlik) konteyner 3 qatlamga ega. Konteyner to'ldirilganda to'ldirilgan 3 + 3 + 3 = 9 toq qatlamlar mavjud.
Bitta 1×1×1 parcha (va ba'zi hatto 1×2×2 dona) bilan qancha to'g'ri 3 va marta3 qatlamlar bajarilishi mumkin?
Uch qatlam: gorizontal qatlam va 1 marta & marta & marta 1 parcha o'z ichiga olgan ikki vertikal qatlamlar. Shuning uchun 3 kublar eng ko'pi bilan 3 va marta 3 = 9 qatlamlarni to'ldirishga yordam beradi.
Bu shuni ko'rsatadiki, 3 kub zarur va "3×3×2 2" jumboqini hal qilish mumkinligi sababli, 3 kub ham 9 to'q qatlamlarni to'ldirish uchun etarli.
Bu 3 kublarning joylashuvi haqida bizga nima deydi?
"3×3×3 2" jumboq?
9 qatlamning har birida faqat 1 kub bo'lishi mumkin, 0 kub va 2 kub emas! Aks holda, 9 qatlam uchun 3 kub etarli bo'lmaydi.
Bu echim uchun yutuq. Bundan tashqari, kublarni joylashtirishning yagona usuli diagonal bo'ylab - bitta kub markazda, boshqa ikkita kub diagonal qarama-qarshi burchaklarda. Aks holda, katta hajmli 1 & times2 & times2 qismlari 3 kub atrofidagi bo'shliqni to'ldirish uchun juda katta bo'ladi.
Shuning uchun, bir kubni burchakka va uchta 1×2×2 bo'lakni bu kub atrofida nosimmetrik tarzda qo'ying. Bitta kubni markazga qo'ying, bittasini qarama-qarshi burchakka qo'ying, qolganlari aniq bo'ladi.
Ushbu yechimdan yana nimani o'rganishimiz mumkin? Masalan, u simmetriyaga egami?
Birinchi kubni burchakka va uning atrofidagi uchta 1×2×2 qismni joylashtirgandan so'ng nosimmetriyalar ko'rinadi. Eritma kubning diagonali aylanish o'qi sifatida 120 ° aylanish simmetriyasiga ega (to'liq aylana aylanishining 120 ° = 1/3).
Yechim har biri bir necha qismdan iborat bir xil yoki nosimmetrik qurilish bloklarining yig'indimi?
HA. Kuboid ko'zgu nosimmetrik bo'lgan 2 qurilish bloklarining yig'indisi (burchakda 1 kub + atrofida uchta 1×2×2 dona) va o'rtada bitta kub. Yuqoridagi 2 rasmda 2 tomondan bitta qurilish bloki ko'rsatilgan.
Turli xil qurilish bloklaridan foydalangan holda bu jumboqni hal qilishning yana bir usuli bormi?
HA. Quyidagi chap va o'ng rasmlarda "3×3 ×3 2" jumboqlari uchun ikkita oyna nosimmetrik qurilish bloklari ko'rsatilgan. Jumboqni hal qilish uchun ular markaziy kub (o'rta rasm) bilan birlashtirilishi mumkin.
Nima uchun biz qurilish bloklari haqida o'ylashimiz kerak?
Katta idishni barcha qismlar bilan to'ldirishdan ko'ra, kichik miqdordagi qismlardan foydalanish va ulardan nosimmetrik narsa yaratish osonroqdir.
Qurilish bloklari "3×5×7 1" kabi katta jumboqlarni hal qilish uchun ishlatilishi mumkinmi?
HA. Katta konteynerlar, ularning uzunliklari har xil bo'lsa ham, bir xil / oyna nosimmetrik qurilish bloklari yordamida to'ldirilishi mumkin. "3×5×7 1" jumboqini qurilish bloklari va markaz odd parchasidan foydalangan holda hal qilishning bir necha usullari mavjud. Biz ba'zi misollarni topish uchun sizga qoldiramiz.
Qaysi qismlar qurilish blokini tashkil qilishi kerakligini qanday bilamiz?
Avval g'alati kuboidning markazi haqida o'ylab ko'raylik. Markaz pozitsiyasi noyobdir, chunki nosimmetrik yechimni istasak, markaz konteyner bilan bir xil shaklga ega bo'lgan parcha bilan ishg'ol qilinishi kerak. 3 ×3 & times3 kuboid kub bo'lib, buning markaziy qismi kub bo'lishi kerak. Markazdagi 1×2×2 bo'lak simmetriyani buzadi.
Bu shuni anglatadiki, bir qator bir xil qurilish bloklarini qurish uchun bizda 6 sariq va 3 -1 = 2 pushti qismlar bor.
Qancha qurilish bloklarini yaratishga harakat qilishimiz kerak?
Qurilish bloklari kuboid minus markaziy qismni shakllantirishi kerak. Shuning uchun, qurilish blokidagi sariq qismlar soni 6 (sariq bloklarning umumiy soni) bo'linuvchisi bo'lishi kerak va qurilish blokining pushti qismlari soni 2 ga bo'linishi kerak (markaz uchun bitta zaxiradan keyin qolgan pushti kublar soni).
Shunday qilib, bir xil qurilish bloklarining N soni bir xil bo'laklar sonining eng katta umumiy bo'linuvchisidir, bu erda 6 va 2, bu GCD (6,2) = 2. Shunday qilib, biz 2 / 2 = 1 pushti kub va 6 / 2 = 3 sariq bloklardan qurilish blokini yaratishimiz kerak. Biz shunday qildik.
Katta jumboqlar uchun ishlatish uchun matematik algoritmni umumlashtiring.
To'g'ri konteyner uchun:
- Har qanday qatlamda ketma-ket emasligiga ishonch hosil qilish uchun g'alati qismlarni moslang. Idishning bir burchagini konteynerning qarama-qarshi burchagi bilan bog'lashlari kerak. Agar g'alati bo'laklar kub bo'lsa, ular diagonalizni hosil qiladi. Agar toq qismlar kattaroq bo'lsa (1x1x3), ular to'g'ridan-to'g'ri bo'lmagan diagonalga hosil bo'ladi.
- Agar bitta turdagi bo'lak bo'lsa, konteynerni to'ldirish uchun ulardan foydalaning.
- Hatto bo'laklarning har xil turlari bo'lsa:
- Markaz g'alati qismini bir chetga qo'ying. Qolgan bo'laklardan turli xil turdagi bo'laklar sonining eng katta umumiy taqsimlovchisi N ni toping. N - qurilish bloklari soni.
- N bir xil qurilish bloklarini yarating va g'alati konteyner bo'lsa, ularni markaz qismi bilan birga joylashtiring.
Kichik jumboqlar sinov va xato bilan osonlikcha hal qilinishi mumkin bo'lsa-da, bu strategiya katta jumboqlar uchun ishlamaydi. Toq va juft bo'laklarni o'rganishimiz muhim sababni ko'rsatadi: g'alati bo'laklarni joylashtirish juda muhimdir, chunki ularni to'g'ri joylashtirishning juda kam usullari mavjud. Sinov va xatolardan foydalanib, boshida xatoga yo'l qo'yish mumkin va faqat ko'p qismlarni joylashtirgandan so'ng biror narsa noto'g'ri bo'lganini tushunish mumkin. Bu xatoga nima sabab bo'lganini aniqlashni juda qiyinlashtiradi, shuning uchun foydalanish mumkin bo'lgan fikr-mulohaza yo'q; Sinov-va-xato usuli katta konteynerlar uchun samarali emas. Fikrlash talab qilinadi.
Faqat bitta parcha bilan qadoqlash
Ushbu bo'limda biz bitta turdagi parchadan shakllanishi mumkin bo'lgan kuboid o'lchamlarini o'rganamiz. Bu yuqoridagi jumboqlarni hal qilish uchun kerak bo'lmagan nazariy bo'lim. Bu bo'lim qiyin matematikani talab qilmaydi.
Yetarli 1 & marta 1 va marta 1 qism bilan biz har qanday o'lchamdagi kub shaklini osonlik bilan hosil qilishimiz mumkin. Ammo 2 & marta 3 va marta 4 yoki 1 marta2 & marta 5 qism kabi boshqa buyumlar haqida nima deyish mumkin? Tekshirish kerak bo'lgan ikkita asosiy savol mavjud. Birinchidan, parchaning uzunligi va kuboidning uzunligini hisobga olgan holda, kuboidni parchaning nusxalaridan yaratish mumkinligini qanday aniqlashimiz mumkin? Ikkinchidan, qanday qilib biz bir parchadan boshlab, shakllanishi mumkin bo'lgan kuboidning uzunligini hosil qilishimiz mumkin? Ushbu bo'lim davomida biz ushbu ikkita muhim muammoni o'rganayotganda sodda savollarni ko'rib chiqamiz.
2×6×10 kuboid faqat 1×2×5 qismdan hosil bo'lishi mumkinmi?
HA! Uchta 1 ×2 × 5 bo'laklari 1×6 × 5 shaklini (3 &marta 2 = 6) hosil qilish uchun yonma-yon joylashtirilishi mumkin. Keyin biz ikkinchi 1×6×5 shaklini yaratamiz va ularni 1×6×10 shakliga birlashtiramiz. Nihoyat, ikkita 1 ×6 × 10 shakllari 2 & times6 va times 10 kuboidni hosil qilish uchun birga joylashtirilishi mumkin.
Faqat 2×5×6 o'lchamdagi qismlardan foydalanib, 10×12×14 kuboidni shakllantirish mumkinmi?
Ishora
Parchalarning qanday joylashtirilishini tasavvur qilishning hojati yo'q.
Yana bir ishora?
A 2×5×6 parchasi 5×6×2 parcha bilan bir xil, chunki uni aylantirish mumkin.
Javob berish
HA. 10 / 5 = 2, 12 / 6 = 2 va 14 / 2 = 7 sababli, katta kuboid 2 ×2 va 7 qismlarning 5 ×6 & times2 tartibi sifatida tasavvur qilinishi mumkin. 5×6×2 qismlari bir xil yo'nalishda joylashtirilishi mumkin.
Ushbu topilmalarni qanday umumlashtirishimiz mumkin?
Aytaylik, bizda faqat x & marta y & marta z o'lchamidagi qismlar bor. Keyin X & marta Y & marta Z kuboidini qurish, agar A, B, C musbat butun sonlari mavjud bo'lsa, shunday qilib Ax, By va Cz X, Y va Z ga teng bo'lsa , uni qurish mumkin.
Bu holda nechta qismdan foydalaniladi?
A qismlarini bir yo'nalishda, B boshqa yo'nalishda va C uchinchi yo'nalishda joylashtirishimiz mumkin. Jami A & marta B & marta C qismlari ishlatiladi.
Nima uchun Ax, By va Cz har qanday tartibda X, Y va Z ga teng bo'lishi mumkin?
X & marta Y & Z o'lchamdagi konteyner Z & marta X va Y marta kuboid bilan bir xil. Uzunliklarning tartibi muhim emas, chunki kuboidni aylantirish mumkin.
1×2×3 qismlaridan hosil bo'lgan har qanday kuboid A, B va marta 2, C va marta 3 uzunliklariga ega bo'lishi kerak, ba'zi musbat butun sonlar uchun A, B, C ?
YO'Q. Agar barcha 1×2×3 qismlari bir xil yo'nalishga yo'naltirilgan bo'lsa, kuboid A × (B × 2) × (C & marta 3) o'lchamiga ega bo'ladi. Ammo bo'laklar boshqacha yo'naltirilishi mumkin va hali ham kuboidni hosil qiladi. Masalan, 1×2×3 bo'laklari 1×5×6 kuboidni hosil qilishi mumkin, garchi 1, 5 va 6 A, B &marta 2 va C & marta 3 har qanday tartibda teng bo'lmasa ham. Yana bir misol - 1×7×10 1 jumboq, u 1×2×5 qismdan iborat.
Ushbu ikki misolda parchaning uzunligi va kuboidning uzunligi o'rtasidagi munosabat qanday?
Ushbu ikkala misolda ham kuboidning uzunliklaridan biri parchaning uzunligining ikkitasining yig'indisidir. Kuboidning turli xil uzunligi - bu parchaning bir xil ikki uzunligining LCM (eng past umumiy ko'payishi). 1×5×6 bo'laklaridan hosil bo'lgan 1×2×3 kuboid bo'lsa, bizda 1×5×6 = 1 × (2 + 3) × LCM (2,3) mavjud. Xuddi shunday, 1×7×10 = 1 × (2 + 5) × LCM (2,5).
Qanday qilib bu haqiqatdan ma'lum bir parchadan qurilishi mumkin bo'lgan kuboidlarning uzunligini yaratish yo'lini topish uchun foydalanishimiz mumkin?
Biz parchaning uzunligini tartibli uchlik sifatida ifodalashdan boshlaymiz. Masalan, 1×2×3 bo'lagi (1, 2, 3) bilan ifodalanadi. Endi, bu parchadan hosil bo'lishi mumkin bo'lgan kuboidlarning uzunligini berish uchun biz qayta-qayta bajarishimiz mumkin bo'lgan 3 operatsiyalari mavjud. Ular:
- Uzunligi tartibini o'zgartiring. Bu permutatsiya deb nomlanadi. Bizning holatlarimizda u 3 o'lchovli fazoda aylanishni ifodalaydi. Bir misol
(1, 2, 3) → (2, 3, 1). - Uzunliklarni mos ravishda A, B va C musbat butun sonlariga ko'paytiring. Bu A qismlarini bir yo'nalishda, B ni boshqa yo'nalishda va C ni uchinchi yo'nalishda joylashtirish orqali katta kuboidni shakllantirishga mos keladi. Masalan, biz 1, 4 va 3 bilan ko'paytirishimiz mumkin (1, 2, 3) → (1 va marta 1, 4 va marta 2, 3 va marta 3) = (1, 8, 9).
- Ikkita uzunlikni oling va birini ularning summasi va ikkinchisini LCM bilan almashtiring. Bu turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan bo'laklar bilan katta kuboid hosil qilishga mos keladi. Masalan, 2 va 3 uzunliklarini tanlab, biz (1, 2, 3) → (1, 2 + 3, LCM (2,3)) = (1, 5, 6) ni olamiz.
4-chioperatsiya natijasidan shakli farq qiladigan kuboidni ishlab chiqarish uchun qismlarni3-usulda birlashtirish mumkinmi?
HA. x & marta y va z o'lchamdagi bir parchani ko'rib chiqing. Uchinchi operatsiya x & marta (y + z) & marta LCM (y, z) o'lchamidagi kuboidni hosil qiladi, bu erda x uzunligi parchadan kuboidga o'zgarmaydi.
O'xshash, ammo boshqacha usul LCM (y, z) / y ko'p qismlarni bir-birining yoniga va LCM (y, z) / y ko'p qismlarni bir-biriga yonma-yon qo'yish bo'ladi, lekin endi ikkita blok bir xil uzunlikdagi LCM (y, z), lekin turli balandliklarga ega bo'lishi uchun 90 ° ga aylantirish kerak. Matematik nuqtai nazardan, biz x & marta y & marta LCM(y,z) va x × z & marta LCM (y,z) ni x & marta (y + z) & marta LCM (y,z) hosil qilish uchun biriktirmaymiz. Buning o'rniga, ulardan biri, masalan, x × z & marta LCM (y,z), z × x & marta LCM (y,z) ga aylantiriladi va keyin biriktiriladi.
To'rtburchaklar tayanch maydoni keyin (y + z) & marta LCM (y, z) emas, balki (x + z) & marta LCM (y, z). Keyin ikkita qurilish bloklari x × y × LCM (y,z) va z × x × LCM (y,z) X yo'nalishida mos ravishda x va z uzunliklariga ega.
LCM (x, z) / x balandligi x va LCM (x, z) / z balandlikdagi ko'plab qurilish bloklarini to'plash , har ikkala stack balandligi LCM (x, z) ga etadi. Ular biriktirilganda, natija uchinchi operatsiya natijasida paydo bo'lgan har qanday kuboidga qaraganda boshqa shakl va o'lchamga ega bo'lgan LCM (x, z) & marta (x + z) va marta LCM (y, z) o'lchamidagi kuboiddir.
Ushbu operatsiyalarni har qanday tartibda takrorlash mumkin, avval bir parchadan kuboid hosil qilib, so'ngra kuboidni "parcha" sifatida ishlatish uchun yanada kattaroq kuboidni hosil qilish mumkin. Biz ilgari 2 ×6 × 10 kuboidni 1×2×5 qismdan qanday qilib shakllantirish mumkinligini muhokama qildik. Bu holda faqat bitta operatsiya kerak bo'lib, mos ravishda 2, 3 va 2 ga ko'paytiriladi: (1, 2, 5) → (2 va marta 1, 3 va marta 2, 2 va marta 5) = (2, 5, 10).
Shunday qilib, x & marta y & marta z o'lchamidagi qismlar nafaqat Ax × By × Cz o'lchamidagi kuboidlarni qurishi mumkin, balki, masalan, x & marta (y + z) & marta LCM (y, z), bu erda LCM (y, z) y va z ning eng past umumiy ko'paytmasi. Ushbu qurilish bloklaridan bir nechtasini birlashtirish Ax & marta B (y + z) + C (LCM (y, z)) o'lchamidagi kuboidlarni beradi.
Endi maxsus turdagi buyumni ko'rib chiqamiz. Agar uning har bir katta uzunligi keyingi kichik uzunlikka bo'linsa, parcha garmonik hisoblanadi. Masalan, 1×2×6 parchasi garmonik hisoblanadi, chunki 2 / 1 = 1 va 6 / 2 = 3. A 1×4×6 parcha garmonik emas, chunki 6 4 ning ko'paytmasi emas.
1×2×3 parchali garmonikmi?
YO'Q, chunki 3 2 ga bo'linmaydi.
Garmonik qismlarni qadoqlashda maxsus qiladigan narsa nima? Ular bo'laklar va kuboidlarning uzunligi haqidagi munozaralarimiz bilan qanday bog'liq?
Biz allaqachon kuzatganimizdek, har qanday parcha uzunligi parchaning uzunligining ko'payishiga teng bo'lgan kuboidni hosil qilishi mumkin. Ma'lum bo'lishicha, bir xil garmonik bo'laklardan hosil bo'lgan har qanday kuboidning uzunligi parchalarning uzunligining ko'payishi kerak. Ya'ni, agar garmonik parcha x, y va z uzunliklariga ega bo'lsa, ushbu parchaning nusxalaridan hosil bo'lgan har qanday kuboid bir uzunligi xga, boshqasi y ga bo'linadigan va uchinchi uzunligi z ga bo'linishi kerak. Bu oddiy bayonot bo'lsa-da, isbot talab qiladi tushunchalar ushbu veb-sayt doirasidan tashqarida. Isbotga havolani "Minnatdorlik" bo'limida topish mumkin.
Bu haqiqat yuqorida muhokama qilingan to'rtta operatsiyaga qanday mos keladi?
Biz parchani parchaning bir nusxasidan hosil bo'lgan kuboid sifatida o'ylashdan boshlashimiz mumkin. X & marta y & marta z parchasi ham x & marta y & marta z kuboiddir. Bu kuboidning uzunligi parchaning uzunligining ko'payishidir, chunki har bir son o'zining ko'paytmasidir. Biz kiritgan to'rtta usul nima uchun uzunligi hali ham parchaning uzunligining ko'payishi bo'lgan kuboidlarni ishlab chiqarishini ko'rsatamiz.
- Uzunliklar tartibini o'zgartirish (permutatsiya): bu shunchaki aylanishdir va aslida kuboidning uzunligini o'zgartirmaydi. Kuboidning uzunligi hali ham parchaning uzunligining ko'payishi bo'ladi.
- Kuboidning uzunligini musbat butun sonlar bilan ko'paytirish: agar kuboidning uzunliklari allaqachon parchaning uzunligining ko'payishi bo'lsa, bu o'zgarmaydi. Ular faqat ko'proq ko'payadi. Agar X = Ax x ning ko'paytmasi bo'lsa, u holda DX = DAx ham xning ko'paytmasi bo'ladi, har qanday musbat D butun soni uchun.
- Ikki uzunlikni ularning summasi va LCM bilan almashtirish: shuning uchun garmonik qismlar muhim; Garmonik qismlarning ta'rifidan foydalanishimiz kerak. Aytaylik, biz garmonik parcha (x, y, z) bilan boshladik, undan biz allaqachon kuboidni (Ax, By, Cz) yaratdik. Uzunliklarning tartibi muhim emas, chunki kuboidni aylantirish mumkin. Endi uchinchi operatsiyani kuboidning har qanday ikkitasida bajaramiz, masalan Ax va By: (Ax, By, Cz) → (Ax + By, LCM (Ax, By), Cz). Endi, parcha (x, y, z) garmonik bo'lgani uchun, x va y uzunligidan biri ikkinchisining ko'paytmasidir. Aytaylik, y x ning ko'paytmasi. Shuning uchun, By ham xning ko'paytmasi va Ax ham bo'lgani uchun, Ax + By summasi xning ko'paytmasi bo'ladi. Keyinchalik, LCM (Ax, By) Ax va By ning eng past umumiy ko'paytmasi, shuning uchun u ta'rifiga ko'ra By-ning ko'paytmasi, shuning uchun u y ga bo'linadi. Va nihoyat, Cz , albatta, z-ning ko'payishi. Shuning uchun, yangi kuboidning uzunliklari (Ax + By, LCM (Ax, By), Cz) hali ham parchaning uzunligining ko'payishidir.
- To'rtinchi operatsiya haqida nima deyish mumkin? Ushbu operatsiya uchinchi operatsiyaga o'xshash bo'lganligi sababli, yuqorida keltirilgan dalil ushbu holatga moslashtirilishi mumkin. Biz buni mashq sifatida qoldiramiz.
Biz shuni ko'rsatdikki, har qanday garmonik parchada har qanday tartibda qayta-qayta bajariladigan to'rtta operatsiya, uzunligi parchaning uzunligining ko'payishi bo'lgan kuboidga olib keladi. Shuni ta'kidlash kerakki, uchinchi operatsiyani (va to'rtinchi!) muhokama qilishimizda biz parchaning garmonik ekanligiga tayanamiz. Agar parcha garmonik bo'lmasa, argument muvaffaqiyatsiz bo'ladi. Bu garmonik va garmonik bo'lmagan parchalar o'rtasidagi asosiy farq. Garmonik qismlar uchun uchinchi va to'rtinchi usullar birinchi ikki usulga nisbatan qo'shimcha shakllar hosil qilmaydi.
Natijada, garmonik qismlardan hosil bo'lgan har qanday kuboid barcha qismlarga bir xil yo'nalishda bo'lishi mumkin. Shuning uchun agar biz bir xil garmonik bo'laklardan kub shakllantirmoqchi bo'lsak, ularning barchasini bir xil yo'nalishga qarab joylashtirishga harakat qilish kifoya. Agar buning imkoni bo'lmasa, kuboid umuman shakllana olmaydi.
1×2×2 parchasi garmonik bo'lganligi sababli, ushbu parchaning nusxalaridan hosil bo'lgan har qanday kuboid A, B va marta 2 va C & marta uzunlikka ega bo'lishi kerak. Quyidagi rasmda 5 ×4 ×4 kuboid ko'rsatilgan 1×2×2 qismlardan tashkil topgan bo'lib, ularning barchasi bir xil yo'nalishga ega.
A, B va C qiymatlari qanday?
A, B & marta 2 va C & marta 2 5, 4 va 4 ga teng bo'lsa, biz A = 5 / 1 = 1, B = 4 / 2 = 2 va C = 4 / 2 = 2 ni topamiz.
Garmonik qismlar bilan o'rashda buyumlar bir xil yo'nalishga qarashi kerakmi?
YO'Q! Barcha qismlar har doim bir xil yo'nalishga ega bo'lishi mumkin bo'lsa-da, boshqa tartiblar ham bo'lishi mumkin, ammo ular yangi shakllarni hosil qilmaydi. Quyidagi rasmda 5 ×4 ×4 kuboidni 1×2 × 2 qismdan hosil qilishning boshqa usuli ko'rsatilgan.
Garmonik bo'lmagan buyumlar uchun qoidalar qanday?
Harmonik bo'lmagan parcha x × y & marta z bilan ishlashda, o'lchamlari A, B, C butunlari uchun Ax × By × Cz bo'lmagan ba'zi kuboidlar mavjud. Misol uchun, 1×5 ×6 kuboidni 1×2×3 dan yaratish mumkin. Bu yuqorida muhokama qilinganidek, uchinchi operatsiya natijasidir.
Shuni ta'kidlash kerakki, kuboiddagi kublar soni har doim parchadagi kublar soniga bo'linishi kerak. Kubning uzunliklari har biri parchaning turli uzunligining ko'paytmasi bo'lmasa, kuboidning uzunliklaridan biri uchinchi va to'rtinchi usullar tufayli parchaning kamida 2 uzunligining umumiy ko'paytmasi bo'ladi. Bu fakt, ba'zi kuboidlarning garmonik bo'lmagan bo'laklardan tuzilishi mumkinligini aniqlash uchun ishlatilishi mumkin.
Biz tadqiq qilgan narsalarni ko'rib chiqish uchun ba'zi savollar:
2×4×12 pieces 4×8×36 o'lchamdagi kuboidni hosil qilishi mumkinmi? 10 va 10 va marta 12 o'lchamdagi kuboid haqida nima deyish mumkin?
4 / 2 = 2, 8 / 4 = 2 va 36 / 12 = 3 ekan, 4 va marta8 va marta 36 kuboid hosil bo'lishi mumkin.
10×10 va times12 kuboidning uzunliklaridan biri 12 ga bo'linadi. Boshqa uzunliklar 10 va 10, ularning hech biri 4 ga bo'linmaydi. Shuning uchun, 10 va 10 va 12 kuboidning uzunligi parchaning uzunligining ko'payishi emas. 12 / 4 = 3 va 4 / 2 = 2 bo'lganligi sababli, parcha garmonikdir, shuning uchun 10×10×12 kuboid 2×4× 12 o'lchamdagi bo'laklardan shakllantirilmaydi.
1×3×5 o'lchamdagi qismlar 2×15×8 o'lchamdagi kuboidni hosil qilishi mumkinmi? 3×9 ×14 kuboid haqida nima deyish mumkin?
5 3 ga bo'linmasligi sababli, parcha garmonik emas. Biz garmonik parchalar haqidagi bilimlarimizni qo'llay olmaymiz.
Bu qismlar bilan 2 ×15 va times8 kuboid hosil qilish mumkin. Uch 1×3×5 bo'laklari 1×3×15 (yoki 1×15×3) shaklini hosil qilishi mumkin va 5 qismlar boshqacha tartibga solinishi 1×15×5 shaklini hosil qilishi mumkin. Ushbu ikkita shakl 1×15×8 kuboidni yaratish uchun ishlatilishi mumkin, ulardan ikkitasi 2×15×8 kuboidni tashkil qilishi mumkin. Biz muhokama qilgan operatsiyalardan yanada qisqaroq foydalanishimiz mumkin: (1, 3, 5) → (1, 3 + 5, LCM (3,5)) = (1, 8, 15) → (2, 8, 15) → (2, 15, 8).
Qachon 1 & marta 3 va marta 5 dona birlashtirilsa, kublarning umumiy soni 5 ning ko'paytiruvchisi bo'ladi. 3 × 9 & marta 14 5 ga bo'linmasligi sababli, 3×9×14 kuboid 1×3×5 o'lchamidagi bo'laklardan yaratilishi mumkin emas.
Garmonik va garmonik bo'lmagan parchalar uchun qoidalarning qisqacha mazmuni
Bu erda biz o'rgangan narsalarga umumiy nuqtai nazar:
- Agar kuboidning uzunligi parchaning uzunligining ko'payishi bo'lsa, u parchaning garmonik bo'lishidan qat'i nazar, ushbu parchaning nusxalaridan tuzilishi mumkin. Bunday kuboidlar barcha qismlar bilan bir xil yo'nalishda shakllanishi mumkin, ammo buyumlar turli yo'nalishlarga ega bo'lgan tartiblar ham bo'lishi mumkin.
- Agar parcha garmonik bo'lsa, unda hosil bo'lgan har qanday kuboid parchaning uzunligining ko'payishi bo'lishi kerak. Natijada, garmonik parchalardan hosil bo'lgan har qanday kuboid barcha qismlarga bir xil yo'nalishda bo'lishi mumkin, ammo bu har doim ham kerak emas.
- Agar parcha garmonik bo'lmasa, uzunligi parchaning uzunligining ko'payishi bo'lmagan ba'zi kuboidlar mavjud (uchinchi va to'rtinchi operatsiyalarga qarang). Bu holda, buyumlarning barchasi bir xil yo'nalishga ega bo'lishi mumkin emas . Garmonik bo'lmagan qismlardan foydalanib, yuqorida tavsiflangan 4 usuldan foydalangan holda turli shakldagi kuboidlarni yaratish mumkin.
Bu kuzatuvlar faqat uch o'lchovda haqiqiymi?
YO'Q. Shu nuqtai nazardan, 3 o'lchov haqida hech qanday o'ziga xos narsa yo'q. Aslida, uzunliklardan birini 1 ga teng o'rnatish muammoni 2 o'lchamga kamaytirishga teng. Natijalar 3 dan ortiq o'lchovda ham amal qiladi. Masalan, 1×3×12×24 parchasi garmonikdir. Shuning uchun, ushbu 4 o'lchovli qismlardan hosil bo'lgan har qanday 4 o'lchovli kuboid ba'zi A, B, C va D musbat butun sonlari uchun A, B va marta 3, C va marta 12 va D & marta 24 o'lchamlariga ega bo'lishi kerak.
Qanday qilib amaliy jumboqlarni olish mumkin?
Biz sizga 4 o'lchovli bo'laklarni qanday qilishni ayta olmaymiz :) Ammo 3 o'lchovda, agar sizda ko'p zaxira zar bo'lsa, ularni bo'laklarni hosil qilish uchun birlashtirishingiz mumkin.
5 ×5 va times5 qutisi o'rniga, masalan, poyabzal qutisidan foydalanish mumkin. Agar uni diagonal ravishda ushlab tursa, bo'laklar joylashtirilgan joyda qoladi.
Ba'zi jumboqlarning balandligi 1 (masalan, "1×7×10 1") va shuning uchun 2 o'lchovli jumboqlardir. Ushbu jumboqlar uchun qism sifatida ishlatish uchun grafik qog'ozidan to'rtburchaklarni kesish mumkin.
Minnatdorchilik
Jumboqlarni qadoqlashga bo'lgan qiziqishimiz matematik ko'rgazmada "5x5x5 1" jumboqning yog'och versiyasini ko'rganimizda uyg'otdi. Uning muallifi, taniqli matematik Jon Horton Konveyga murojaat qilgandan so'ng, biz undan "3x3x3 2", "5x5x5 2" va "5x5x5 3" jumboqlarini topdik.
"Faqat bitta turdagi parcha bilan qadoqlash" bo'limi gollandiyalik matematik de Bruijnning ishlaridan ilhomlangan. De Bruijnning to'rtburchaklar bo'laklarni qadoqlash bo'yicha kuzatuvlari haqida ko'proq bilish uchun ushbu maqolaga murojaat qiling. Siz de Bruijnning garmonik parchalarning xususiyatlari haqidagi isbotini o'qishingiz mumkin Bu yerda.
Follow or subscribe for updates: