Paketləmə^©

Ən faydalı olan şey rəqəmlərin divisibilitliyi, xüsusilə 2 ilə divisibility haqqında düşünməkdir. Bu, Say nəzəriyyəsinin mövzusudur. Yığdığımız şeylər geometrik obyektlərdir, lakin bu o demək deyil ki, tapmacaları həll etmək üçün geometrik biliklər lazımdır. Geometriyadan kvadrat və ya düzbucaqlının sahəsinin nə olduğunu bilməliyik, amma daha heç nə yoxdur.

Bəzi tapmacalar üçün simmetriya haqqında düşünmək də çox faydalıdır.

Bəzi işarələr bunlardır:

• Çətin problemi daha asan olanlara, yəni alt məqsədlərə bölün. Məsələn, bütün qabı doldurmaq üçün hər bir layı doldurmaq lazımdır.
• Parçaları simmetrik üsulla düzün, xüsusilə də əgər konteyner 3×3×3 kubu və ya 1×7×7 kvadrat formalı qab kimi simmetrikdirsə.
• Verilən məlumatlardan daha çox istifadə edin. Parçaların ölçüləri hansılardır? Onlardan neçəsi eyni formaya malikdir?

Bu "Düşünmək üçün qida" qalan bütün tapmacaları sınaq və xətasız həll etmək məqsədi güdür. Bunun yerinə sadə suallar gəlməklə və onları cavablandırmaqla.

Daha böyük bərkimək üçün bir yerə yığılacaq formalardan biri.

Qəribə bir parça, 1×1×1 parçası və ya 1×3×5 parçası kimi uzunluqları qəribə olan bir parçadır.

Bir parça ən azı iki hətta uzunluğu olsa belə, məsələn, 1×2×4 və ya 2×2×2.

Bütün parçalar ya hətta, ya da qəribədir?

Bir kuboid düzbucaqlı prizmadır. Kuboidin boş qabığına aid etmək üçün "konteyner" sözündən istifadə edirik. Biz qabın məzmunu kimi "cuboid"-ə istinad edirik. Bir qab parçalarla doldurulmalıdır və parçalardan kuboid yaradılmalıdır.

Lay - qabın üzünə paralel istiqamətdə qalınlıq 1-in bir dilimidir. 3×4×5 qabının 3 qat ölçüsü 4×5, 4 qat ölçüsü 3×5, 5 qat ölçüsü 3×4-dir.

1×5×7 qabının neçə qatı var?

Xüsusi olaraq, daha böyük kub deyil, 1×1×1 kub. 1×1×1 parçası 1 kubdan, 1×1×3 parçası isə 1 × 1 × 3 = 3 kubdan ibarətdir.

Bir-birinə bərkidilmiş bir neçə parça bina bloku əmələ gətirir. Maraqlı tikinti blokları simmetriyaya malik olacaq. Daha sərt bulmacalar üçün bir neçə eyni və ya güzgü eynilikli bina blokları plus bir mərkəz parçası konteyneri dolduracaq.

XEYR. 1×2×2 parçası hətta bir ədəd kubdan ibarətdir. Buna görə də 1×2×2 parçalarının hər hansı bir ədədi birlikdə hətta ümumi kub sayına malik olacaq. 3×3×3 kuboidi qəribə sayda kublardan ibarət olduğundan bu şəkildə əmələ gələ bilməz.

Növbəti bir neçə hissədə, xüsusilə 2 ilə divisibility müəyyən bulmacalar həll etmək üçün parçaların necə yerləşdirilməsini necə müəyyən edəcəyini araşdıracağıq.

Bu sualın cavabı yenə də NO-dir. Bir parça ilə tutula bilən təbəqədəki ərazi parçanın üzlərindən birinin sahəsidir, elə deyilmi?

1×2×2 parçasının üzləri hansılardır?

Bu üzlüklər hansı sahələrdir və onların ortaq cəhəti nədir?

Bu, hətta bütün parçalar üçün də doğrudurmu?

Öyrəndik ki, qəribə yan uzunluqlara malik olan kuboidlər yalnız parçalardan belə əmələ gələ bilməz. Qəribə sahəyə malik olan təbəqəni hətta parçalarla da doldurmaq mümkün deyil. Buna görə də "3×3×3 2" tapmacasının bir neçə 1×1×1 parçası vardır ki, bu da qəribə parçalardır.

Burada daha bir faydalı sualı nəzərdən keçirmək lazımdır:

İki növ parçadan biri (1×1×1 və 1×2×2) digərindən daha "qiymətlidirmi"?

BƏLI! Üç 1×2×5 parçasını 1×6×5 formasını (3 × 2 = 6) əmələ gətirmək üçün yan-yana yerləşdirmək olar. Sonra ikinci 1×6×5 formasını yarada və onları 1×6×10 şəklində birləşdirə bilərik. Nəhayət, iki 1×6×10 formasını bir yerdə yerləşdirmək olar ki, 2×6×10 kuboidi əmələ gətirə bilər.

Işarə

Başqa bir işarə?

Cavab

Fərz edək ki, x × y × z ölçüdə yalnız parçalarımız var. Sonra X × Y × Z cuboid inşa əgər müsbət integers A, B, C belə varsa, mümkün ki, Ax, By və Cz bərabər X, Y və Z müəyyən qaydada.

Bu halda neçə parçadan istifadə olunacaq?

Ax , By və Cz nəyə görə X, Y və Z-yə hər hansı bir qaydada bərabər ola bilər?

XEYR. Əgər bütün 1×2×3 parçaları eyni istiqamətdə yönələrsə, kuboid A × ölçüsünə (B × 2) × (C × 3) malik olacaq. Lakin parçaları fərqli şəkildə istiqamətləndirib, yenə də kuboid əmələ gətirə bilər. Məsələn, 1×2×3 parçaları 1,5 və 6 A, B × 2 və C × 3-ə hər hansı bir qaydada bərabər olmasa da, 1×5×6 kuboid əmələ gətirə bilər. Digər bir misal isə 1×2×5 parçasından ibarət olan "1×7×10 1" tapmacasıdır.

Bu iki nümunədə parçanın uzunluqları ilə kuboidin uzunluqları arasındakı əlaqə nədir?

Bu əməliyyatları istənilən qaydada təkrarlamaq olar. Əvvəlcə parçadan kuboid əmələ gətirmək, sonra isə kuboiddən "parça" kimi istifadə edərək daha da böyük bir kuboid əmələ gətirmək olar. 2×6×10 kuboidin 1×2×5 parçasından necə əmələ gələ biləcəyini daha əvvəl müzakirə etdik. Bu halda yalnız bir əməliyyat lazımdır, müvafiq olaraq 2, 3 və 2 ilə çoxalır: (1, 2, 5) → (2 × 1, 3 × 2, 2 × 5) = (2, 5, 10).

Beləliklə, ölçüsü x × y × z parçaları yalnız ölçülərin kuboidlərini inşa edə bilmir Ax × By × Cz, həm də məsələn, ölçüsü x × (y + z) × LCM(y,z), burada LCM(y,z) y və z-nin ən aşağı ümumi çoxluğudur. Bu tikinti bloklarından bir neçəsinin bir yerə qoyulması, ölçüsünə görə kuboidləri Ax &y + z) + C(LCM(y,z)) verir.

XEYR, çünki 3 2 ilə parçalanmadır.

Artıq müşahidə etdik ki, istənilən parça parçanın uzunluğunun çoxluğu olan kuboid əmələ gətirə bilər. Məlum olur ki, eyni harmonik parçalarla əmələ gələn hər hansı bir kuboidin uzunluğu parçaların uzunluqlarının çoxluğu olmalıdır . Yəni, harmonik parçanın uzunluqları x, y və z olarsa, bu parçanın nüsxələrindən əmələ gələn hər hansı bir kuboidin bir uzunluğu x, digərinin divisilləri y, üçüncü divisil isə z ilə olmalıdır. Bu, sadə bir bəyanat olsa da, sübut bu veb-saytın miqyasından kənar anlayışlar tələb edir. Sübutun linkinə "Etiraf" bölməsində rast gəlmək olar.

Bu fakt yuxarıda müzakirə etdiyimiz 4 əməliyyatla necə üst-üstə düşür?

Nəticədə harmonik parçalardan əmələ gələn hər hansı bir kuboid bütün parçalara eyni oriyentasiyada malik ola bilər. Ona görə də, əgər biz eyni harmonik parçalardan kuboid əmələ gətirməyə çalışırıqsa, onların hamısını eyni istiqamətdə birləşdirməyə çalışmaq kifayətdir. Əgər bu mümkün deyilsə, onda ümumiyyətlə kuboid əmələ gələ bilməz.

Bir 1×2×2 parçası harmonik olduğundan, bu parçanın kopyalarından əmələ gələn hər hansı bir kuboid A, B × 2 və C × 2 bəzi integers A, B və C üçün uzunluğa sahib olmalıdır. Aşağıdakı görüntüdə 1×2×2 parçası ilə əmələ gəlmiş 5×4×4 kuboidi göstərilir. Bu kuboidlərin hamısı eyni oriyentasiyaya malikdirlər.

A, B və C dəyərləri hansılardır ?

Harmonik parçalarla yığılarkən parçalar eyni istiqamətə üz-üzə gəlmək məcburiyyətindədirmi?

Qeyri-harmonik parça x × y × z ilə işləyərkən bəzi kuboidlər əmələ gələ bilər ki, onların ölçüləri hər hansı bir integers A, B, C üçün Ax × By × Cz deyil. Məsələn, 1×5×6 kuboidi 1×2×3 parçasından yaratmaq olar. Bu, daha əvvəl də müzakirə edildiyi kimi, üçüncü əməliyyatın nəticəsidir.

Qeyd etmək lazımdır ki, kuboiddəki kubların sayı parçadakı kubların sayına görə həmişə divisibl olmalıdır. Kubun uzunluqları hər biri parçanın müxtəlif uzunluqlarının çoxluğu olmadıqda, üçüncü və dördüncü metodlara görə, kuboidin uzunluqlarından biri parçanın ən azı 2 uzunluğundan ibarət ümumi çoxluq olacaqdır. Bu faktdan müəyyən kuboidlərin qeyri-harmonik parçalardan əmələ gələ biləcəyini müəyyən etmək mümkündür.

2×4×12 parçaları 4×8×36 ölçüsündə kuboid əmələ gətirə bilərmi ? 10×10×12 ölçüsü olan kuboid haqqında nə demək ?

1×3×5 ölçüsündə olan parçalar 2×15×8 ölçüsündə kuboid əmələ gətirə bilərmi ? Bəs 3×9×14 kuboidi haqqında nə demək olur?

Öyrəndiklərimiz haqqında ümumi məlumat:

• Əgər bir kuboidin uzunluğu bir parçanın uzunluqlarının çoxluğudursa, onda parçanın harmonik olmasından asılı olmayaraq, həmin parçanın nüsxələrindən əmələ gələ bilər. Belə kuboidlər eyni oriyentasiyada bütün parçalarla əmələ gələ bilər, lakin parçaların müxtəlif oriyentasiyalara malik olduğu tədbirlər də mövcud ola bilər.
• Əgər parça harmonikdirsə, onda əmələ gələn hər hansı bir kuboid parçanın uzunluqlarının çoxluğu olan uzunluqlara malik olmalıdır. Nəticədə harmonik parçalardan əmələ gələn hər hansı bir kuboid eyni oriyentirdə bütün parçalara malik ola bilər, halbuki bu həmişə lazım deyil.
• Əgər parça harmonik deyilsə, bəzi kuboidlər əmələ gələ bilər ki, onların uzunluğu parçanın uzunluqlarının çoxluğu deyil (bax: üçüncü və dördüncü əməliyyatlar). Bu halda parçaların hamısı eyni oriyentasiyaya malik ola bilməz . Qeyri-harmonik parçalardan istifadə etməklə, daha əvvəl təsvir olunan 4 üsuldan istifadə etməklə müxtəlif formalı kuboidlər yaratmaq olar.

XEYR. Bu kontekstdə 3 ölçü ilə bağlı xüsusi bir şey yoxdur. Əslində uzunluqlardan birini 1-ə bərabər təyin etmək problemin 2 ölçüyə endirilməsinə bərabərdir. Nəticələr 3-dən çox ölçüdə də keçərlidir. Məsələn, 1×3×12×24 parçası harmonikdir. Buna görə də, bu 4-ölçülü parçalardan əmələ gələn hər hansı 4 ölçülü kuboid A, B × 3, C × 12 və D × 24 ölçülərinə malik olmalıdır. Bəzi müsbət integerlər üçün A, B, C və D.