Packing©
Dieses Rätsel gewann/spielte: 16298/24819
Warum sollte ich diesen "Denkanstoß" lesen?
Denn Sie werden überrascht sein.
Nachdem Sie ein paar Packrätsel ausprobiert haben, welcher Bereich der Mathematik ist Ihrer Meinung nach am nützlichsten, um sie zu lösen:
1) Algebra, 2) Wahrscheinlichkeitstheorie, 3) Geometrie, 4) Zahlentheorie, 5) Symmetrien, 6) Ein anderes Gebiet?
Was sich als am nützlichsten erweist, ist über die Teilbarkeit von Zahlen nachzudenken, insbesondere über die Teilbarkeit durch 2. Dies ist ein Gegenstand der Zahlentheorie. Die Dinge, die wir stapeln, sind geometrische Objekte, aber das bedeutet nicht, dass geometrisches Wissen erforderlich ist, um die Rätsel zu lösen. Aus der Geometrie müssen wir wissen, wie groß die Fläche eines Quadrats oder Rechtecks ist, aber nicht mehr.
Bei einigen Rätseln ist es auch sehr nützlich, über Symmetrie nachzudenken.
Schnelle Hinweise
Das sind Hinweise für Hilfesuchende, die sich aber nicht für die mathematischen Hintergründe interessieren.
- Indem Sie sich die Zahlen neben "Dieses Rätsel gewonnen/gespielt" für jedes Rätsel ansehen, überprüfen Sie, welche am einfachsten sind. Es ist immer eine gute Idee, mit den einfachsten Rätseln zu beginnen, und gibt Ihnen Übung im Umgang mit der Benutzeroberfläche.
- Die Rätsel "2&mal3&mal3 1" und "2&mal3&mal3 2" lassen sich leicht durch Versuch und Irrtum lösen.
- Wenn dein erster Versuch mit dem "1&mal7&mal10 1"-Puzzle nicht erfolgreich ist, drehe die Teile beim nächsten Versuch.
- "1×7×7 1" ist ein Puzzle, bei dem das Nachdenken über Symmetrie hilft. Der Grund dafür ist, dass der Behälter (Gitter) einen quadratischen Boden mit 4 gleich langen Seiten hat und wir 4 lange Stücke der gleichen Form haben. Man sollte sie daher symmetrisch einsetzen. Es gibt nur ein violettes quadratisches Stück. Um eine 90° rotationssymmetrische Lösung zu erhalten, muss sich dieses Stück in der Mitte befinden. Jede andere Stelle würde die 90°-Symmetrie der Lösung brechen.
- Die Rätsel mit dunkleren Tasten erfordern mehr Nachdenken. Beginnen Sie damit, das Rätsel "3&mal3&mal3 2" vollständig zu verstehen, bevor Sie zu den 5&mal5&mal5-Rätseln übergehen.
Wie kann man diese Rätsel ohne Versuch und Irrtum lösen?
Hier sind einige Hinweise:
- Teilen Sie ein schwieriges Problem in leichtere, d.h. in Teilziele auf. Um beispielsweise den gesamten Behälter zu füllen, muss man jede Schicht füllen.
- Ordnen Sie die Teile symmetrisch an, insbesondere wenn der Behälter symmetrisch ist, z. B. ein 3&mal3&mal3-Würfel oder der quadratische 1&mal7&mal7-Behälter.
- Machen Sie das Beste aus den gegebenen Informationen. Wie groß sind die Teile? Wie viele von ihnen haben die gleiche Form?
Der Rest dieses "Food for Thought" hat das Ziel, alle Rätsel ohne Versuch und Irrtum zu lösen, indem man sich stattdessen einfache Fragen ausdenkt und diese beantwortet.
Definitionen
Der Übersichtlichkeit halber sind hier einige Begriffe, die wir verwenden werden, um Verpackungsprobleme zu besprechen:
Stück
Eine der Formen, die zusammengefügt werden, um den größeren Körper zu bilden.
Ein ungerades Stück ist ein Stück, dessen Längen alle ungerade sind, z. B. ein 1&mal1&mal1 Stück oder ein 1&mal3&mal5 Stück.
Ein Stück ist gerade, wenn es mindestens zwei gerade Längen hat, z. B. 1&mal2&mal4 oder 2&mal2&mal2.
Sind alle Teile entweder gerade oder ungerade?
NEIN. Ein Stück mit genau einer geraden Länge, wie z.B. 1&mal2&mal3, passt in keine der beiden Definitionen. In den folgenden Abschnitten konzentrieren wir uns auf ungerade und gerade Teile.
Quader/Behälter
Ein Quader ist ein rechteckiges Prisma. Wir verwenden das Wort "Container", um uns auf die leere Hülle des Quaders zu beziehen. Wir bezeichnen "quaderförmig" als den Inhalt des Behälters. Ein Behälter soll mit Stücken gefüllt werden und aus Stücken entsteht ein Quader.
Schicht
Eine Schicht ist eine Schicht mit der Dicke 1 in einer Richtung, die parallel zu einer Fläche des Behälters verläuft. Ein 3×4×5-Behälter besteht aus 3 Schichten der Größe 4×5, 4 Schichten der Größe 3×5 und 5 Schichten der Größe 3×4.
Wie viele Schichten hat ein 1&mal5&mal7 Behälter?
Es besteht aus einer 5&mal7-Schicht, fünf 1&mal7-Schichten und sieben 1&mal5-Schichten. Insgesamt hat es 1 + 5 + 7 = 13 Schichten.
Würfel
Genauer gesagt, ein 1&mal1&mal1-Würfel, kein größerer Würfel. Ein 1&mal1&mal1 Stück besteht aus 1 Würfel, während ein 1&mal1&mal3 Stück aus 1 & mal 1 & mal 3 = 3 Würfeln besteht.
Baustein
Ein paar Teile, die miteinander verbunden sind, bilden einen Baustein. Interessante Bausteine werden eine Symmetrie aufweisen. Bei schwierigeren Puzzles füllen mehrere identische oder spiegelidentische Bausteine plus ein Mittelstück den Behälter.
Strategie
Die Hälfte der Lösung eines schwierigen Problems besteht darin, das schwierige Problem in kleinere Probleme aufzuteilen.
Dazu sollte man sich einfache Fragen stellen. Die folgenden Fragen werden bei der Lösung der Packrätsel nützlich sein.
Kann jeder Quader aus Stücken der Größe 1&mal2&mal2 geformt werden? Kann zum Beispiel ein Quader 3&mal3&mal3 nur aus Teilen der Größe 1&mal2&mal2 geformt werden?
NEIN. Ein 1&mal2&mal2 Stück besteht aus einer geraden Anzahl von Würfeln. Daher hat eine beliebige Anzahl von 1&mal2&mal2 Teilen zusammen eine gerade Gesamtzahl von Würfeln. Da ein Quader 3&mal3&mal 3 aus einer ungeraden Anzahl von Würfeln besteht, kann er auf diese Weise nicht gebildet werden.
In den nächsten Abschnitten werden wir untersuchen, wie die Teilbarkeit, insbesondere durch 2, bestimmt, wie Teile platziert werden müssen, um bestimmte Rätsel zu lösen.
Können 1&mal2&mal2 Stück zumindest jede Schicht des 3&mal3&mal3 Behälters füllen?
Die Antwort lautet wieder NEIN. Der Bereich in einer Ebene, der von einem Stück eingenommen werden kann, ist der Bereich einer der Seiten des Teils, richtig?
Was sind die Gesichter eines 1&mal2&mal2 Stücks?
Ein 1&mal2&mal2-Stück besteht aus zwei Paaren paralleler 1&mal2-Flächen und einem Paar 2&mal2-Flächen.
Was sind die Bereiche dieser Gesichter und was haben die Bereiche gemeinsam?
Die Flächen sind 1 & mal 2 = 2 und 2 & mal 2 = 4. 2 und 4 sind beide gerade Zahlen.
Wir beobachten, dass ein 1&mal2&mal2-Stück nur eine gerade Anzahl von Würfeln (2 oder 4) in jeder Schicht einnehmen kann.
Gilt das für alle geraden Stücke?
Jede Fläche eines Stücks hat zwei Längen. Da gerade Stücke höchstens eine ungerade Länge haben, hat jede ihrer Flächen mindestens eine gerade Länge. Da gerade & mal ungerade = gerade ist, wird die Fläche jeder Fläche gerade sein. Deshalb nennen wir sie Even Pieces!
Wir haben gelernt, dass Quader mit ungeraden Seitenlängen nicht nur aus geraden Stücken gebildet werden können. Eine Schicht mit ungerader Fläche kann auch nicht mit geraden Stücken gefüllt werden. Daher besteht das Puzzle "3&mal3&mal3 2" aus einigen 1&mal1&mal1 Teilen, die ungerade Teile sind.
Hier ist eine weitere hilfreiche Frage, die Sie sich stellen sollten:
Ist eine der beiden Arten von Stücken (1&mal1&mal1 und 1&mal2&mal2) "wertvoller" als die andere?
JA. Wenn wir nur 1&mal1&mal1 Teile hätten, dann wäre jedes Puzzle trivial, findest du auch? Wenn wir nur 1&mal2&mal2 Stück hätten, dann könnte ein ungerader Behälter nicht gefüllt werden, wie oben gezeigt.
Die offensichtliche Frage ist: Was ist die Mindestanzahl von 1&mal1&mal1 Stücken, die den 3&mal3&mal3 Behälter füllen können?
Natürlich stellen sich folgende Fragen:
Warum reichen drei 1&mal1&mal1 Stücke?
Um diese Frage zu beantworten, vergleichen wir die Anzahl der ungeraden Schichten (Schichten mit ungerader Fläche) mit der Anzahl der ungeraden Flächenschichten, die mit geraden Teilen und nur 3 Würfeln gefüllt werden können.
Wie viele Schichten hat ein 3&mal3&mal3 Behälter?
In jeder der drei Richtungen (Breite, Höhe, Tiefe) besteht der Behälter aus 3 Schichten. Es gibt 3 + 3 + 3 = 9 ungerade Schichten, die gefüllt werden, wenn der Behälter gefüllt wird.
Wie viele ungerade 3>3 Schichten können mit einem einzigen 1&mal1&mal1 Stück (und einigen geraden 1&mal2&mal2 Stücken) vervollständigt werden?
Drei Schichten: die horizontale Schicht und die beiden vertikalen Schichten, die das Stück 1&mal1&mal1 enthalten. Es können also 3 Würfel helfen, maximal 3 & mal 3 = 9 Schichten zu füllen.
Dies zeigt, dass 3 Würfel notwendig sind, und da das "3&mal3&mal2 2"-Rätsel lösbar ist, reichen auch 3 Würfel aus, um die 9 ungeraden Schichten zu füllen.
Was sagt uns das über die Position der 3 Würfel in der
"3×3×3 2" Rätsel?
In jeder der 9 Schichten kann es nur 1 Würfel geben, nicht 0 Würfel und nicht 2 Würfel! Sonst würden 3 Würfel für die 9 Schichten nicht ausreichen.
Dies ist der Durchbruch für die Lösung. Darüber hinaus können die Würfel nur diagonal platziert werden - mit einem Würfel in der Mitte und den anderen beiden Würfeln in diagonal gegenüberliegenden Ecken. Sonst wären die sperrigen 1&mal2&mal2 Stücke zu groß, um den Raum um die 3 Würfel zu füllen.
Lege daher einen Würfel in eine Ecke und drei 1&mal2&mal2 Stücke symmetrisch um diesen Würfel. Lege einen Würfel in die Mitte, einen in die gegenüberliegende Ecke, und der Rest wird offensichtlich.
Was können wir sonst noch von dieser Lösung lernen? Hat es zum Beispiel Symmetrien?
Die Symmetrien sind sichtbar, nachdem man den ersten Würfel in die Ecke gelegt hat und die drei 1&mal2&mal2 Teile um ihn herum. Die Lösung hat eine 120°-Rotationssymmetrie mit der Diagonale des Würfels als Rotationsachse (120° = 1/3 der Vollkreisdrehung).
Ist die Lösung die Summe aus identischen oder symmetrischen Bausteinen, die jeweils aus mehreren Teilen bestehen?
JA. Der Quader ist die Summe aus 2 Bausteinen, die spiegelsymmetrisch sind (1 Würfel in einer Ecke + drei 1&mal2&mal2 Teile drumherum) und einem Würfel in der Mitte. Die obigen 2 Bilder zeigen einen Baustein von 2 Seiten.
Gibt es eine andere Möglichkeit, dieses Rätsel mit verschiedenen Bausteinen zu lösen?
JA. Das linke und rechte Bild unten zeigen zwei spiegelsymmetrische Bausteine für das Puzzle "3&mal3&mal3 2". Sie können mit einem Mittelwürfel (mittleres Bild) kombiniert werden, um das Rätsel zu lösen.
Warum sollten wir uns die Mühe machen, über Bausteine nachzudenken?
Es ist einfacher, eine kleine Anzahl von Teilen zu verwenden und daraus etwas Symmetrisches zu schaffen, als den größeren Behälter mit allen Teilen zu füllen.
Können Bausteine verwendet werden, um größere Rätsel zu lösen, wie z.B. "3&mal5&mal7 1" ?
JA. Größere Behälter, auch wenn sie alle unterschiedlich lang sind, können mit identischen/spiegelsymmetrischen Bausteinen befüllt werden. Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Rätsel "3&mal5&mal7 1" mit Hilfe von Bausteinen und einem mittleren ungeraden Teil zu lösen. Wir überlassen es Ihnen, einige Beispiele zu finden.
Woher wissen wir, aus welchen Teilen ein Baustein bestehen sollte?
Denken wir zuerst über den Mittelpunkt eines ungeraden Quaders nach. Da die Mittelposition einzigartig ist, muss die Mitte, wenn wir eine symmetrische Lösung wünschen, von einem Stück mit der gleichen Form wie der Behälter eingenommen werden. Der Quader 3×3×3 ist ein Würfel, also muss das Mittelstück dafür ein Würfel sein. Ein 1&mal2&mal2-Stück in der Mitte würde die Symmetrie brechen.
Das bedeutet, dass wir 6 gelbe und 3 − 1 = 2 rosa Teile haben, um eine Anzahl identischer Bausteine zu bauen.
Wie viele Bausteine sollten wir versuchen, zu erstellen?
Die Bausteine sollten den Quader minus das Mittelstück bilden. Daher muss die Anzahl der gelben Teile in einem Baustein ein Divisor von 6 sein (die Gesamtzahl der gelben Blöcke) und die Anzahl der rosa Teile eines Bausteins muss 2 dividieren (die Anzahl der rosa Würfel, die übrig bleiben, nachdem ein Würfel für die Mitte reserviert wurde).
Somit ist die Anzahl N identischer Bausteine der größte gemeinsame Teiler der Anzahl identischer Teile, hier 6 und 2, was GCD(6,2) = 2 ist. Wir sollten also einen Baustein aus 2 / 2 = 1 rosa Würfel und 6 / 2 = 3 gelben Blöcken erstellen. Das haben wir getan.
Fassen Sie den mathematischen Algorithmus zusammen, um ihn für größere Rätsel zu verwenden.
Für einen ungeraden Behälter:
- Richten Sie die ungeraden Teile so aus, dass sie sich in keiner Ebene überlappen. Sie sollten eine Ecke des Behälters mit der gegenüberliegenden Ecke des Behälters verbinden. Handelt es sich bei den ungeraden Stücken um Würfel, bilden sie eine Diagonale. Wenn die ungeraden Teile größer sind (1x1x3), dann bilden sie eine nicht gerade Diagonale.
- Wenn es nur eine Art von geraden Stücken gibt, dann verwenden Sie sie, um den Behälter zu füllen.
- Wenn es verschiedene Arten von geraden Teilen gibt:
- Lege das mittlere ungerade Stück beiseite. Ermitteln Sie aus den verbleibenden Teilen den größten gemeinsamen Teiler N der Anzahl der Teile der verschiedenen Typen. N ist die Anzahl der Bausteine.
- Erstellen Sie N identische Bausteine und setzen Sie sie mit dem Mittelstück zusammen, falls ein ungerader Behälter entsteht.
Während kleine Rätsel leicht durch Versuch und Irrtum gelöst werden können, funktioniert diese Strategie bei größeren Rätseln nicht. Unsere Erkundung von ungeraden und geraden Teilen offenbart einen wichtigen Grund: Die Platzierung ungerader Teile ist entscheidend, da es nur sehr wenige Möglichkeiten gibt, sie richtig zu platzieren. Durch Versuch und Irrtum kann man gleich zu Beginn einen Fehler machen und erst nach dem Platzieren vieler Stücke feststellen, dass etwas schief gelaufen ist. Dies macht es unglaublich schwierig, die Ursache des Fehlers zu bestimmen, so dass es kein brauchbares Feedback gibt; Die Trial-and-Error-Methode ist bei größeren Containern nicht wirksam. Denken ist gefragt.
Verpacken mit nur einer Stückart
In diesem Abschnitt werden wir die Größen von Quadern untersuchen, die aus einem einzigen Stück geformt werden können. Dies ist ein theoretischer Abschnitt, der zum Lösen der obigen Rätsel nicht benötigt wird. Dieser Abschnitt erfordert keine schwierige Mathematik.
Mit genügend 1&mal1&mal1 Stücken können wir problemlos einen Quader beliebiger Größe formen. Aber was ist mit anderen Teilen, wie z.B. 2&mal3&mal4 oder 1&mal2&mal5 Stücken? Es gibt zwei Hauptfragen, die untersucht werden müssen. Erstens, wie können wir anhand der Längen eines Stücks und der Längen eines Quaders bestimmen, ob der Quader aus Kopien des Stücks erstellt werden kann? Zweitens : Wie können wir, ausgehend von einem einzigen Stück, die Längen eines Quaders erzeugen, der geformt werden kann? In diesem Abschnitt werden wir einfachere Fragen betrachten, während wir diese beiden wichtigen Probleme untersuchen.
Kann ein 2&mal6&mal10er Quader aus nur 1&mal2&mal 5 Teilen geformt werden?
JA! Drei 1&mal2&mal5 Teile können nebeneinander gelegt werden, um eine 1&mal6&mal5 Form zu bilden (3&mal 2 = 6). Wir können dann eine zweite 1&mal6&mal5-Form erstellen und sie zu einer 1&mal6&mal10-Form kombinieren. Zum Schluss können zwei 1&mal6&mal10 Formen zusammen platziert werden, um einen 2&mal6&mal10 Quader zu bilden.
Ist es möglich, einen Quader 10&mal12&mal14 nur mit Teilen der Größe 2&mal5&mal6 zu formen?
Hinweis
Es ist nicht notwendig, sich vorzustellen, wie die Stücke angeordnet wären.
Noch ein Tipp?
Ein 2&mal5&mal6-Stück ist das Gleiche wie ein 5&mal6&mal2-Stück, da es gedreht werden kann.
Antwort
JA. Da 10 / 5 = 2, 12 / 6 = 2 und 14 / 2 = 7 ist, kann man sich den größeren Quader als eine 2&mal2&mal7 Anordnung der 5&mal6&mal2 Teile vorstellen. Die 5×6×2 Teile können alle in der gleichen Ausrichtung platziert werden.
Wie lassen sich diese Erkenntnisse verallgemeinern?
Nehmen wir an, wir haben nur Stücke der Größe x & mal y & mal z. Dann ist es möglich, einen Quader X & mal Y & mal Z zu konstruieren, wenn es positive ganze Zahlen A, B, C gibt, so dass Ax, By und Cz gleich X, Y und Z in einer bestimmten Reihenfolge sind.
Wie viele Teile werden in diesem Fall verwendet?
Wir können A-Stücke in eine Richtung, B in eine andere und C in eine dritte Richtung anordnen. Insgesamt werden A & mal B & mal C Stücke verwendet.
Warum können Ax, By und Cz in beliebiger Reihenfolge gleich X, Y und Z sein?
Ein Behälter der Größe X & mal Y & mal Z entspricht einem Quader Z & mal X & Y Quader. Die Reihenfolge der Längen spielt keine Rolle, da der Quader gedreht werden kann.
Ist es wahr, dass jeder Quader, der aus 1&mal2&mal3 Stücken gebildet wird, die Längen A, B &mal 2, C &mal 3 haben muss, für einige positive ganze Zahlen A, B, C ?
NEIN. Wenn alle 1&mal2&mal3 Teile in die gleiche Richtung ausgerichtet sind, hat der Quader die Größe A & mal (B & mal 2) & mal (C & mal 3). Die Stücke können aber auch unterschiedlich ausgerichtet sein und trotzdem einen Quader bilden. Zum Beispiel können die Teile 1&mal2&mal3 einen Quader 1&mal5&mal6 bilden, auch wenn 1, 5 und 6 nicht gleich A, B &mal 2 und C & mal 3 in beliebiger Reihenfolge sind. Ein weiteres Beispiel ist das Puzzle "1&mal7&mal10 1", das aus 1&mal2&mal5 Teilen besteht.
In welchem Verhältnis stehen die Längen des Stücks und die Längen des Quaders in diesen beiden Beispielen?
In beiden Beispielen ist eine der Längen des Quaders die Summe von zwei Längen des Stücks. Eine andere Länge des Quaders ist das LCM (Lowest Common Multiple) der gleichen beiden Längen des Stücks. Im Falle des Quaders 1&mal5&mal6, der aus 1&mal2&mal 3 Teilen gebildet wird, haben wir 1&mal5&mal6 = 1 & mal (2 + 3) &mal LCM(2,3). Analog dazu gilt: 1&mal7&mal10 = 1 & mal (2 + 5) &mal LCM(2,5).
Wie können wir diese Tatsache nutzen, um einen Weg zu finden, die Längen von Quadern zu erzeugen, die aus einem gegebenen Stück konstruiert werden können?
Wir beginnen damit, die Länge eines Stücks als geordnetes Tripel darzustellen. Zum Beispiel wird ein 1&mal2&mal3 Stück durch (1, 2, 3) dargestellt. Nun gibt es 3 Operationen, die wir wiederholt durchführen können, um die Längen der Quader zu erhalten, die aus diesem Stück gebildet werden können. Sie sind:
- Ändern Sie die Reihenfolge der Längen. Dies wird als Permutation bezeichnet. In unserem Fall stellt es eine Drehung im 3-dimensionalen Raum dar. Ein Beispiel ist
(1, 2, 3) → (2, 3, 1). - Multiplizieren Sie die Längen mit den positiven ganzen Zahlen A, B und C. Dies entspricht der Bildung eines größeren Quaders, indem man die Stücke A in eine Richtung, B in eine andere Richtung und C in die dritte Richtung legt. Zum Beispiel können wir mit 1, 4 und 3 multiplizieren, um (1, 2, 3) → (1 & mal 1, 4 & mal 2, 3 & mal 3) = (1, 8, 9) zu erhalten.
- Nehmen Sie zwei Längen und ersetzen Sie eine durch ihre Summe und eine durch ihr LCM. Dies entspricht der Bildung eines größeren Quaders mit Stücken, die in verschiedene Richtungen ausgerichtet sind. Wenn wir zum Beispiel die Längen 2 und 3 wählen, erhalten wir (1, 2, 3) → (1, 2 + 3, LCM(2,3)) = (1, 5, 6).
Kann man die Teile auf eine 4. Weise kombinieren, um einen Quader zu erzeugen, dessen Form sich von dem Ergebnis der 3. Arbeitsoperation unterscheidet?
JA. Betrachten Sie ein Stück der Größe x & mal y & z Die dritte Operation erzeugt einen Quader der Größe x & mal (y + z) & mal LCM(y,z), wobei eine Länge x vom Teil zum Quader unverändert bleibt.
Ein ähnlicher, aber anderer Weg wäre, wieder LCM(y,z)/y viele Stücke nebeneinander und LCM(y,z)/y viele Stücke nebeneinander zu legen, wie bisher, aber jetzt einen Satz um 90° zu drehen, so dass die beiden Blöcke die gleiche Länge LCM(y,z), aber unterschiedliche Höhen haben. Mathematisch gesehen hängen wir x & mal y & mal LCM(y,z) und x & mal z & mal LCM(y,z) nicht an, um x & mal (y + z) & mal LCM(y,z) zu bilden. Stattdessen wird einer von ihnen, z. B. x & mal z & mal LCM(y,z), auf z & mal x & mal LCM(y,z) gedreht und dann angehängt.
Die rechteckige Grundfläche ist dann nicht (y + z) & mal LCM(y,z), sondern (x + z) & mal LCM(y,z). Dann haben die beiden Bausteine x × y × LCM(y,z) und z × x × LCM(y,z) die Längen x bzw. z in x-Richtung.
Beim Stapeln von LCM(x,z)/x vielen Bausteinen der Höhe x und LCM(x,z)/z vielen Bausteinen der Höhe z, erreichen beide Stapel die Höhe LCM(x,z). Wenn sie angehängt sind, ist das Ergebnis ein Quader der Größe LCM(x,z) > (x + z) × LCM(y,z), der eine andere Form und Größe hat als jeder Quader, der sich aus der dritten Operation ergibt.
Man kann diese Operationen in beliebiger Reihenfolge wiederholen, indem man zuerst einen Quader aus einem Stück erzeugt und dann den Quader als "Stück" verwendet, um einen noch größeren Quader zu erzeugen. Wir haben vorhin besprochen, wie ein Quader 2&mal6&mal10 aus 1&mal2&mal 5 Teilen gebildet werden kann. In diesem Fall ist nur eine Operation erforderlich, die mit 2, 3 bzw. 2 multipliziert wird: (1, 2, 5) → (2 & mal 1, 3 & mal 2, 2 & mal 5) = (2, 5, 10).
Stücke der Größe x & mal y & mal z können also nicht nur Quader der Größe Ax & mal Durch & mal Cz konstruieren, sondern z.B. auch mit der Größe x & mal (y + z) & mal LCM(y,z), wobei LCM(y,z) das kleinste gemeinsame Vielfache von y und z ist. Wenn man mehrere dieser Bausteine zusammenfügt, erhält man Quader der Größe Ax & mal B(y + z) + C(LCM(y,z)).
Wir werden uns nun mit einer besonderen Art von Stück befassen. Ein Stück ist harmonisch, wenn jede seiner größeren Längen durch die nächstkleinere Länge teilbar ist. Zum Beispiel ist ein 1&mal2&mal6 Stück harmonisch, da 2 / 1 = 1 und 6 / 2 = 3 ist. Ein 1&mal4&mal6-Stück ist nicht harmonisch, da 6 kein Vielfaches von 4 ist.
Ist ein 1&mal2&mal3 Stück harmonisch?
NEIN, da 3 nicht durch 2 teilbar ist.
Was macht harmonische Stücke beim Verpacken besonders? In welchem Verhältnis stehen sie zu unserer Diskussion über die Längen von Stücken und Quadern?
Wir haben bereits beobachtet, dass jedes Stück einen Quader bilden kann, dessen Längen ein Vielfaches der Längen des Stücks sind. Es stellt sich heraus, dass die Längen eines Quaders, der aus identischen harmonischen Stücken gebildet wird, ein Vielfaches der Längen der Stücke sein müssen . Das heißt, wenn ein harmonisches Stück die Längen x, y und z hat, muss jeder Quader, der aus Kopien dieses Stücks gebildet wird, eine Länge haben, die durch x teilbar ist, eine andere durch y teilbar und die dritte durch z teilbar. Dies ist zwar eine einfache Aussage, aber der Beweis erfordert Konzepte, die über den Rahmen dieser Website hinausgehen. Einen Link zum Nachweis finden Sie in der Rubrik "Danksagung".
Wie lässt sich diese Tatsache mit den vier oben besprochenen Operationen vereinbaren?
Wir können damit beginnen, uns ein Stück auch als einen Quader vorzustellen, der aus einer Kopie des Stücks gebildet wird. Ein x & mal y & mal z Stück ist auch ein x & mal y & mal z Quader. Die Längen dieses Quaders sind ein Vielfaches der Längen der Figur, da jede Zahl ein Vielfaches von sich selbst ist. Wir werden zeigen, warum die vier von uns vorgestellten Methoden Quader erzeugen, deren Längen immer noch ein Vielfaches der Stücklängen sind.
- Ändern der Reihenfolge der Längen (Permutation): Dies ist einfach eine Drehung und ändert nicht wirklich die Längen des Quaders. Die Längen des Quaders sind immer noch ein Vielfaches der Längen des Stücks.
- Multiplizieren Sie die Längen des Quaders mit positiven ganzen Zahlen: Wenn die Längen des Quaders bereits ein Vielfaches der Stücklängen sind, ändert sich dies nicht. Sie werden einfach zu größeren Vielfachen. Wenn X = Ax ein Vielfaches von x ist, dann ist DX = DAx auch ein Vielfaches von x, für jede positive ganze Zahl D.
- Ersetzen von zwei Längen durch ihre Summe und LCM: Deshalb sind harmonische Teile wichtig; Wir werden die Definition der harmonischen Stücke verwenden müssen. Nehmen wir an, wir beginnen mit einem harmonischen Stück (x, y, z), aus dem wir bereits den Quader gebildet haben (Ax, By, Cz). Die Reihenfolge der Längen spielt keine Rolle, da der Quader gedreht werden kann. Wir führen nun die dritte Operation mit zwei beliebigen Längen des Quaders durch, z. B. Ax und By: (Ax, By, Cz) → (Ax + By, LCM(Ax, By), Cz). Da nun das Stück (x, y, z) harmonisch ist, ist eine der beiden Längen x und y ein Vielfaches der anderen. Angenommen, y ist ein Vielfaches von x. Daher ist By auch ein Vielfaches von x, und da Ax auch ist, ist die Summe Ax + By ein Vielfaches von x. Als nächstes ist LCM(Ax,By) das kleinste gemeinsame Vielfache von Ax und By, also per Definition ein Vielfaches von By, daher ist es durch y teilbar. Schließlich ist Cz natürlich ein Vielfaches von z. Daher sind die Längen des neuen Quaders (Ax + By, LCM(Ax,By), Cz) immer noch ein Vielfaches der Längen des Stücks.
- Was ist mit der vierten Operation? Da diese Operation der dritten Operation ähnelt, kann das oben vorgestellte Argument für diesen Fall angepasst werden. Wir lassen es als Übung.
Wir haben gezeigt, dass die vier Operationen, die wiederholt in beliebiger Reihenfolge an einem harmonischen Stück ausgeführt werden, zu einem Quader führen, dessen Längen ein Vielfaches der Längen des Stücks sind. Es ist wichtig zu beachten, dass wir uns bei der Erörterung der dritten Operation (und der vierten!) auf die Tatsache verlassen, dass das Stück harmonisch ist. Wenn ein Stück nicht harmonisch ist, schlägt das Argument fehl. Dies ist der Hauptunterschied zwischen harmonischen und unharmonischen Stücken. Bei harmonischen Stücken erzeugen die dritte und vierte Methode im Vergleich zu den ersten beiden Methoden keine zusätzlichen Formen.
Infolgedessen kann jeder Quader, der aus harmonischen Teilen gebildet wird, alle Teile in der gleichen Ausrichtung haben. Wenn wir also versuchen, einen Quader aus identischen harmonischen Stücken zu bilden, genügt es, zu versuchen, sie alle in die gleiche Richtung zu ordnen. Ist dies nicht möglich, dann kann der Quader gar nicht gebildet werden.
Da ein 1&mal2&mal 2-Stück harmonisch ist, muss jeder Quader, der aus Kopien dieses Stücks gebildet wird, die Längen A, B &mal 2 und C & mal 2 für einige ganze Zahlen A, B und C haben. Das Bild unten zeigt einen Quader 5&mal4&mal4, der aus 1&mal2&mal2 Teilen besteht, die alle die gleiche Ausrichtung haben.
Was sind die Werte von A, B und C ?
Wenn wir A, B & mal 2 und C & mal 2 gleich 5, 4 bzw. 4 setzen, finden wir A = 5 / 1 = 1, B = 4 / 2 = 2 und C = 4 / 2 = 2.
Müssen beim Verpacken mit harmonischen Teilen die Teile in die gleiche Richtung zeigen?
NEIN! Obwohl es immer möglich ist, dass alle Teile die gleiche Ausrichtung haben, kann es andere Anordnungen geben, die jedoch keine neuen Formen bilden. Das Bild unten zeigt eine andere Möglichkeit, aus 1&mal2&mal2 mal 2 Teilen einen 5&mal4&mal4 Quader zu formen.
Welche Regeln gelten für unharmonische Stücke?
Bei der Arbeit mit einem unharmonischen Stück x & mal y & mal z gibt es einige Quader, die gebildet werden können, deren Größe nicht Ax & mal Durch & mal Cz für alle ganzen Zahlen A, B, C ist. Zum Beispiel kann ein 1&mal5&mal6 Quader aus 1&mal2&mal3 Teilen erstellt werden. Dies ist das Ergebnis der dritten Operation, wie bereits erwähnt.
Es ist wichtig zu beachten, dass die Anzahl der Würfel im Quader immer durch die Anzahl der Würfel im Stück teilbar sein muss. Wenn die Längen des Würfels nicht jeweils ein Vielfaches einer unterschiedlichen Länge des Stücks sind, ist eine der Längen des Quaders aufgrund der dritten und vierten Methode ein gemeinsames Vielfaches von mindestens 2 Längen des Stücks. Diese Tatsache kann genutzt werden, um festzustellen, ob bestimmte Quader aus unharmonischen Stücken gebildet werden können.
Einige Fragen zur Überprüfung dessen, was wir untersucht haben:
Können 2&mal4&mal12 Stück einen Quader der Größe 4&mal8&mal36 bilden? Wie wäre es mit einem Quader der Größe 10&mal10&mal12 ?
Da 4 / 2 = 2, 8 / 4 = 2 und 36 / 12 = 3 ist, kann ein Quader 4&mal8&mal36 gebildet werden.
Eine der Längen eines Quaders 10 mal 10 mal 12 ist durch 12 teilbar. Die anderen Längen sind 10 und 10, von denen keine durch 4 teilbar ist. Daher sind die Längen des Quaders 10 mal 10 mal 12 keine Vielfachen der Längen des Stücks. Da 12 / 4 = 3 und 4 / 2 = 2 ist, ist das Stück harmonisch, daher kann aus Stücken der Größe 2&mal4&mal12 kein Quader 10&mal10>12 gebildet werden.
Können Stücke der Größe 1&mal3&mal5 einen Quader der Größe 2>15&mal8 bilden? Wie wäre es mit einem Quader 3&mal9&mal14?
Da 5 nicht durch 3 teilbar ist, ist das Stück nicht harmonisch. Wir können unser Wissen über harmonische Stücke nicht anwenden.
Es ist möglich, mit diesen Teilen einen Quader 2>15&mal8 zu formen. Drei 1&mal3&mal5 Teile können eine 1&mal3&mal15 (oder 1&mal15&mal3) Form bilden, und 5 der unterschiedlich angeordneten Teile können eine 1&mal15&mal5 Form bilden. Diese beiden Formen können verwendet werden, um einen Quader 1&mal15&mal8 zu erstellen, von denen zwei einen Quader 2&mal15&mal8 bilden können. Wir können die von uns besprochenen Operationen verwenden, um prägnanter zu sein: (1, 3, 5) → (1, 3 + 5, LCM(3,5)) = (1, 8, 15) → (2, 8, 15) → (2, 15, 8).
Immer wenn 1&mal3&mal5 Teile kombiniert werden, ist die Gesamtzahl der Würfel ein Vielfaches von 5. Da 3 & mal 9 & mal 14 nicht durch 5 teilbar ist, kann aus Teilen der Größe 1&mal3&mal 5 kein Quader 3&mal9&mal14 erstellt werden.
Zusammenfassung der Regeln für harmonische und unharmonische Stücke
Hier ist ein Überblick über das, was wir gelernt haben:
- Wenn die Längen eines Quaders ein Vielfaches der Längen eines Stücks sind, dann kann es aus Kopien dieses Stücks gebildet werden, unabhängig davon, ob das Stück harmonisch ist. Solche Quader können mit allen Teilen in der gleichen Ausrichtung gebildet werden, es kann aber auch Anordnungen geben, in denen die Teile unterschiedliche Ausrichtungen haben.
- Wenn ein Stück harmonisch ist, dann muss jeder geformte Quader Längen haben, die ein Vielfaches der Längen des Stücks sind. Infolgedessen kann jeder Quader, der aus harmonischen Teilen gebildet wird, alle Teile in der gleichen Ausrichtung haben, obwohl dies nicht immer notwendig ist.
- Wenn ein Stück nicht harmonisch ist, gibt es einige Quader, die gebildet werden können, deren Längen nicht ein Vielfaches der Stücklängen sind (siehe dritte und vierte Operation). In diesem Fall können die Teile nicht alle die gleiche Ausrichtung haben. Mit nicht-harmonischen Stücken kann man Quader unterschiedlicher Formen erzeugen, indem man die 4 oben beschriebenen Methoden anwendet.
Sind diese Beobachtungen nur in drei Dimensionen gültig?
NEIN. In diesem Zusammenhang ist an 3 Dimensionen nichts Besonderes. Wenn Sie eine der Längen auf 1 setzen, entspricht dies der Reduzierung des Problems auf 2 Dimensionen. Die Ergebnisse sind auch in mehr als 3 Dimensionen gültig. Zum Beispiel ist ein 1&mal3&mal12&mal24 Stück harmonisch. Daher muss jeder 4-dimensionale Quader, der aus diesen 4-dimensionalen Teilen gebildet wird, die Dimensionen A, B & mal 3, C & mal 12 und D & mal 24 für einige positive Ganzzahlen A, B, C und D haben.
Wie bekomme ich praktische Puzzles?
Wir können Ihnen nicht sagen, wie man 4-dimensionale Stücke herstellt :) Aber in 3 Dimensionen, wenn du viele Würfel übrig hast, kannst du sie zu Stücken zusammenkleben.
Statt einer 5&mal5&mal5 Schachtel könnte man zum Beispiel einen Schuhkarton verwenden. Hält man es diagonal, bleiben die Stücke an Ort und Stelle, wo sie platziert sind.
Einige der Rätsel haben eine Höhe von 1 (z.B. "1&mal7&mal10 1") und sind daher 2-dimensionale Rätsel. Man kann Rechtecke aus Millimeterpapier ausschneiden, um sie als Teile für diese Puzzles zu verwenden.
Anerkennung
Unser Interesse am Verpacken von Puzzles wurde geweckt, als wir die Holzversion des Puzzles "5x5x5 1" auf einer Matheausstellung sahen. In Anlehnung an den Verweis auf seinen Autor, den berühmten Mathematiker John Horton Conway, fanden wir von ihm die Rätsel "3x3x3 2", "5x5x5 2" und "5x5x5 3".
Der Abschnitt "Verpacken mit nur einer Art von Stück" wurde von der Arbeit des niederländischen Mathematikers de Bruijn inspiriert. Um mehr über de Bruijns Beobachtungen zum Verpacken rechteckiger Stücke zu erfahren, lesen Sie diesen Artikel. De Bruijns Beweis für die Eigenschaften harmonischer Stücke können Sie hier lesen.
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