Gỡ nút thắt () Cách để thắng:

Hầu hết chúng ta sử dụng nút thắt để buộc dây giày, thắt cà vạt hoặc khăn quàng cổ, buộc quai túi, v.v. Bạn có thể thấy nhiều nút thắt hơn khi bạn đi thuyền buồm, cắm trại, câu cá hoặc khi bạn khâu, đan, hoặc tạo kiểu tóc. Tuy nhiên, những cái này không phải nút thắt toán học!

Hãy xem hai sơ đồ các nút thắt sau. Thật khó hiểu, cả hai này đều được gọi là nút thắt 'số tám', vì hình số 8 trong đó.
Bạn có thể thấy có điều gì khác biệt? Chúng tôi chắc chắn bạn có thể nhận ra nó!

Chắc chắn có! Bây giờ bạn biết rằng trong toán học, một nút thắt là một sợi đơn, khép kín, liên tục.
Với định nghĩa này, nút thắt toán học đơn giản nhất là gì?
Làm thế nào bạn có thể tạo một nút toán học từ một đoạn dây?

Trong trò chơi này, bạn biến dạng các sơ đồ thắt nút toán học để giảm số điểm cắt càng nhiều càng tốt.

Trong khi bạn được phép 'cắt' các sợi bằng cách bấm vào chúng, bạn chỉ đang sửa đổi biểu đồ, chứ không phải nút ở dưới. Đây là lý do tại sao có một hạn chế về cách bạn có thể gắn lại các đầu mà bạn đã 'cắt'. Hạn chế này đảm bảo rằng nút toán học không thay đổi trong bất kỳ lần định tuyến lại nào của các sợi ngay cả khi nút thay đổi biểu đồ của nó. .
Khi nào bạn phải gỡ các nút thắt trong cuộc sống hằng ngày?
Hãy thử một số trò chơi nút thắt toán học khác!

một đường cong khép kín trong không gian 3 chiều không tự giao nhau và có độ dày hữu hạn (để tránh vô số nút thắt nhỏ hơn và nhỏ hơn dọc theo đường nút thắt), Ví dụ: nút thắt số 8.

hình chiếu của đường thắt nút thành 2 chiều trong đó các phần khác nhau của đường thắt nút có thể cắt nhau (trên trang web này các đường giao nhau dưới một góc 90 °), nhưng không nằm chồng lên nhau.

Các ví dụ biểu đồ nút thắt:
'Nút gỡ' còn được gọi là 'nút thắt bình thường'.

vật trừu tượng đằng sau một tập hợp (vô hạn) các biểu đồ nút thắt mà tất cả đều có thể bị biến dạng, kéo dài và dịch chuyển vào nhau mà không bị cắt. Ví dụ: nút 3₁ còn được gọi là 'trefoil', là nút không bình thường đơn giản nhất.

thuật ngữ toán học khi một đường thắt nút có thể liên tục bị bóp méo thành một đường khác.

Trên trang web này, các biểu đồ nút thắt chỉ được vẽ bằng 6 gạch mà chúng tôi gọi là các bước đi:

vị trí hai bước cắt nhau trong một biểu đồ, một bước ở trên bước kia:

một bước đi qua trong chỗ điểm cắt, có đường chuyền phía trên (nhìn thấy hoàn toàn) và đường chuyền nằm dưới (bị che một phần).

hoán đổi đường chuyền phía trên và đường chuyền nằm dưới của chỗ điểm cắt, tức là chuyển đổi giữa hai đường giao nhau này: Nếu một điểm cắt được chuyển đổi, biểu đồ cũ và mới nói chung thể hiện các nút thắt khác nhau. Việc chuyển đổi tất cả các điểm cắt tương đương với việc thay đổi một nút đối với hình ảnh phản chiếu của nó. Một số nút giống hệt với phiên bản được phản chiếu của chúng, điều đó có nghĩa là có một đồng vị xung quanh giữa chúng. Chúng được gọi là 'đối xứng'. Ví dụ, nút thắt hình số 8 là đối xứng. Những người khác không thể bị biến dạng thành phiên bản được phản chiếu của chúng, như cây trefoil. Chúng được gọi là 'bất đối xứng'.
Nút thắt này có thể biến dạng thành hình ảnh phản chiếu của nó không?

Đây không phải là thuộc tính của đường thắt nút, cũng không phải của nút thắt. Đó là một câu hỏi làm thế nào để di chuyển dọc theo đường thắt nút. Người ta có thể di chuyển theo 2 hướng hay còn gọi là 2 định hướng.
Một nút thắt có thể bị biến dạng từ một đồng vị xung quanh thành chính nó nhưng với hướng bị đảo ngược được gọi là ‘nghịch đảo’, nếu không nó được gọi là không đảo ngược được. Nút không đảo ngược được nhỏ nhất là 8 ₁₇ đối xứng nhưng nếu một hướng được thêm vào thì nút này sẽ trở thành nút bất đối xứng (tìm thêm trên trang Wikipedia Nút Không thể đảo ngược (the Invertible Knot). Việc thêm nhiều cấu trúc hơn (ở đây là một định hướng) khiến nó mất đi tính đối xứng (không còn giống với hình ảnh phản chiếu của nó nữa).

Nút thắt hình số tám ở trên có 4 điểm cắt nhau, nhỏ hơn 8, và vì thế xoay ngược được.
Làm thế nào để biến dạng nút thắt hình số 8 mà giữ nguyên biểu đồ của nó nhưng hướng lại bị xoay ngược?
Trong một ví dụ trước đó, một nút thắt hình số tám đã được biến đổi thông qua một dạng biến dạng đơn giản thành hình ảnh phản chiếu của nó. Sự biến dạng này cũng đã thay đổi hướng – bạn hãy tự mình kiểm chứng! Vì vậy, nếu muốn biến dạng biểu đồ thành hình ảnh phản chiếu của nó mà không xoay ngược hướng, thì chỉ cần kết hợp cả hai trình tự.

--> Một nút thắt bất đối xứng (một nút không thể bị biến dạng so với hình ảnh phản chiếu của nó) vẫn có thể đảo ngược (đối xứng với sự thay đổi hướng). Các nút thắt như vậy được gọi là 'có thể đảo ngược'.

Đối với một biểu đồ nút nhất định, các đường giao nhau là thuận tay phải hoặc trái.
Trong phần tới, chúng ta sẽ khám phá hai kiểu giao nhau và xác định kiểu giao nhau thuận tay phải hay trái.
Có bao nhiêu đường cắt ngang khác nhau nếu chúng ta coi đường chuyền phía trên / nằm dưới và xem xét cả hai hướng?
Nếu một người giữ nguyên biểu đồ và chỉ chuyển đổi một điểm cắt thì độ thuận tay của chỗ băng qua đường đó có thay đổi không?
Bằng cách sử dụng tay, làm thế nào người ta có thể nhớ được liệu đường giao nhau là thuận tay phải hay tay trái?

sự khác biệt giữa số điểm cắt thuận tay trái và tay phải trong một sơ đồ. Số ghi đặc trưng cho một biểu đồ nút thắt, không phải là một nút vì có thể có 2 biểu đồ khác nhau với số ghi khác nhau. Số ghi của biểu đồ nút thắt này là gì?

một số hoặc một đa thức hoặc một kết luận bất biến đặc trưng cho tất cả (vô hạn) biểu đồ của một nút. Các thuộc tính của một nút là bất đối xứng/ đối xứng, nghịch đảo / không đảo ngược được, có thể đảo ngược là những nút bất biến.

số điểm cắt tối thiểu mà bất kỳ biểu đồ nào của nút này có thể có sau khi biến dạng, đây là đặc điểm của mỗi nút và do đó nút bất biến.
Sơ đồ này có bao nhiêu điểm cắt?
Số giao nhau của nút được biểu diễn qua biểu đồ trên là gì?
Hai số điểm cắt thấp nhất mà một nút thắt có thể có là gì?

Một phần của đường thắt nút trong một biểu đồ từ điểm cắt này đến điểm cắt tiếp theo.
Có bao nhiêu cung trên biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?

không gian trống trong một biểu đồ nút thắt được bao quanh bởi các vòng cung. Toàn bộ không gian trống bên ngoài biểu đồ cũng là một lỗ.
Có bao nhiêu lỗ trên biểu đồ dạng nút thắt có N điểm cắt?

Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc ở đường chuyền phía trên và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía trên hơn.

Một chuỗi các cung liên tiếp trong một biểu đồ nút thắt (tức là các cung nối tiếp nhau) bắt đầu và kết thúc thúc ở đường chuyền nằm dưới và liên quan đến 0, 1 hoặc nhiều đường chuyền phía nằm dưới hơn.

(Trong văn học, 'sợi' thường được sử dụng cho cái mà chúng ta gọi là sợi phía trên. Đối với chúng ta, số đường chuyền phía trên của một sợi cũng quan trọng như số đường chuyền nằm dưới. Chúng tôi do đó hãy xem xét sợi nằm dưới cũng như sợi phía trên.)

Đường ngang được hiển thị bao gồm năm vòng cung là loại sợi nào?
Có bao nhiêu sợi phía trên trong biểu đồ nút thắt có N điểm cắt?

Năm 1927, nhà toán học người Đức Kurt Reidemeister và James Waddell Alexander và Garland Baird Briggs (1926), đã chứng minh rằng bất kỳ hai biểu đồ nào biểu thị cùng một nút đều có thể biến dạng thành một chuỗi chỉ gồm 3 kiểu di chuyển khác nhau. Vấn đề là trong quá trình biến dạng, số lượng điểm cắt có thể tạm thời tăng lên và giới hạn trên rõ ràng cho sự gia tăng này là không xác định cũng như số lượng lượt chuyển cần thiết.

loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi một vòng cung: Biểu đồ nào cho thấy đường giao cắt nào thuận sang trái và đường giao cắt nào thuận sang phải?

loại bỏ hoặc thêm một lỗ được bao quanh bởi 2 vòng cung: Người ta có thể nói gì về sự thuận tay của hai đường giao cắt được thêm vào hoặc loại bỏ trong lượt di chuyển Reidemeister 2?

loại bỏ và thêm một lỗ được bao quanh bởi 3 vòng cung.
Bạn có thể nghĩ ra 2 loại lỗ nào được bao quanh bởi 3 vòng cung?

Điều này không liên quan gì đến 'lượt' được xác định ở trên. Một động tác chuyền thay thế một sợi trên (dưới) bằng một sợi trên (dưới) khác trong đó cả hai sợi đều có cùng đầu. Ví dụ, vui lòng xem các bước di chuyển P-, P0 và P + bên dưới.

một bước di chuyển trong đó sợi mới có ít lần vượt qua hơn sợi cũ.
Tìm một động thái P thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:

một động tác vượt qua trong đó sợi mới có cùng số lần đi với sợi cũ.
Tìm một động thái P0 thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:

P + di chuyển
Tìm một động tác P + thay thế sợi màu xanh lá cây trong sơ đồ này:
P + di chuyển trở nên cần thiết nếu một người muốn thay đổi số ghi của một sơ đồ. Thông tin thêm về điều đó được mô tả thêm bên dưới trong phần 'Tìm P0 Moves'.

Số không xác định là thuộc tính của một nút, không phải là thuộc tính của một sơ đồ và do đó là một bất biến nút.
Bắt đầu với một sơ đồ nút, đó là số lần tối thiểu mà một hoặc nhiều điểm cắt cần phải được chuyển đổi để có được ẩn số. Trước công tắc đầu tiên và công tắc giữa các công tắc, sơ đồ có thể bị biến dạng tùy ý. Do đó, con số không xác định không phải là một con số dễ xác định vì cho phép bất kỳ biến dạng nào.
Tại sao cây ba lá lại có số 1 không mấy tốt đẹp?

Các trường hợp di chuyển đơn giản của R1, như sau: trong đó người ta có thể lật một vòng 4 lần và ngay lập tức có thể dễ dàng phát hiện ra điều không đẹp bằng cách đi theo đường thắt nút và tìm kiếm một vòng cung có cả hai đầu ở cùng một giao nhau. Thứ tự thực hiện các chuyển động của R1 không quan trọng.

Nhưng có nhiều trường hợp áp dụng chiêu Reidemeister 1 tổng quát hơn. Nếu một đoạn đường chuyền phía trên bắt đầu tại một điểm cắt mà nó là một cầu vượt nhưng ngược lại nằm hoàn toàn trên đầu các cung khác (do đó được gọi là 'over-strand') thì vòng xoắn này chắc chắn có thể là lối tắt và do đó bị loại bỏ. Ví dụ: lúc đầu, vòng xoắn ở trên cùng ở trung tâm có thể được loại bỏ và sau đó các vòng xoắn khác, từng cái một: Vòng xoắn này cũng có thể được gỡ bỏ khi nằm hoàn toàn bên dưới: Tìm Di chuyển R2