300000
Tổng số trận thắng: 29713
Chấm
Nếu bạn chỉ quan tâm đến việc lựa chọn nước đi nào để chơi mà không phải tại sao thì hãy chuyển sang phần 'Cây quyết định' ở phía dưới. 'Mục lục' bên dưới liệt kê tất cả các thuật ngữ xuất hiện trong trò chơi và có vai trò như một phần giới thiệu nhanh.
Khái niệm cơ bản
Thuật ngữ: Chúng tôi sẽ giới thiệu một số thuật ngữ mới mà chúng tôi sẽ sử dụng trong trò chơi.
A ô là một hình vuông nhỏ có 4 chấm cạnh nhau tạo thành các góc. Một ô có thể có 0, 1, 2, 3, 4 mặt và được gọi là ô 0 cạnh, ô 1 cạnh, ô 2 cạnh, ô 3 cạnh, ô 4 cạnh.
A đoạn là đoạn thẳng liên kết hai dấu chấm cạnh nhau.
Vẽ xong một đường còn được gọi là Thực hiện một lượt chơi.
Nếu có một đường thẳng ngăn cách giữa ô 2 cạnh và ô 3 cạnh thì khi bạn vẽ đường thẳng ấy, bạn sẽ làm được 3 điều: bạn sẽ hoàn thành ô 3 cạnh và ghi được một điểm, bạn sẽ đổi ô 2 cạnh thành ô 3 cạnh và được đi thêm lượt nữa để hoàn thành ô 3 cạnh mới. Loại "Phản ứng dây chuyền" này rất thường xuyên xảy ra.
Tất cả ô 2 cạnh được kết nối tạo thành một chuỗi. Một chuỗi có thể có 2 đầu và sau đó được gọi là chuỗi tuyến tính, cho dù chuỗi đó có phải là một đường thẳng hay không, như
Một chuỗi không có đầu được gọi là chuỗi vòng lặp hoặc đơn giản là vòng lặp , cho dù nó có giống hình tròn hay không, như thế này
+---+---+---+
| |
+ +---+ +
| | |
+---+ + +
| |
+---+---+
Thực hiện một lượt chơi bên trong một chuỗi hoặc trên một trong các đầu của nó được gọi là mở một chuỗi trong tài liệu toán học về trò chơi này.
Điều gì xảy ra nếu một chuỗi được mở?
Nếu người chơi vẽ một trong các đường chưa vẽ trong chuỗi chẳng hạn như nước đi A1 vào
+---+---+---+
| |
+ +A1-+ +
| |
+---+---+khi đó ít nhất một ô 2 cạnh trở thành ô 3 cạnh (trong trường hợp này vị trí của hai ô là ở trên và ở dưới nước đi A1), người chơi khác có thể nối các ô tiếp theo thành 4 cạnh, và ghi được 1 hoặc 2 điểm, đồng thời chuyển đổi ô 2 cạnh thành ô 3 cạnh (trong trường hợp này vị trí của hai ô là ở bên trái nước đi B1 và bên phải nước đi B2 trong
+---+---+---+
| B1 |
+ +A1-+ + .
| B2 |
+---+---+Mỗi khi hoàn thành một ô, người chơi phải thực hiện lượt chơi khác để hoàn thành ô tiếp theo và cả các ô khác trong chuỗi. Sau khi hoàn thành ô cuối cùng, người chơi phải vẽ 1 đường mới ở vị trí khác trừ khi tất cả các ô trên bảng đã được hoàn thành.
Chơi ban đầu
Quy tắc 1: Cách chơi rõ ràng nhất là tránh tạo ra ô 3 cạnh vì đối phương có thể cướp lượt hoàn thành ô đó và ghi điểm. Đây là một quy tắc đơn giản và hữu ích tuy nó không hoàn hảo như chúng ta sẽ thấy ở phần cuối của trang web này. Tại một số thời điểm, khi khoảng một nửa số đường được vẽ, việc tạo ra một các ô 3 cạnh là khó tránh khỏi. Điều gì xảy ra sau đó? Bởi vì các chuỗi có 1, 2 hoặc ≥ 3 ô được hoàn thành khác nhau nên chúng ta phải xem xét chúng riêng lẻ.
Chúng ta hãy bắt đầu bằng cách xem xét các chuỗi chỉ có một ô.
Có nên lúc nào cũng hoàn thành một ô 3 cạnh, tức là hoàn thành chuỗi chỉ có một ô?
+---+
| ?
+---+
Câu trả lời là có, người chơi nên ưu tiên làm điều đó. Cho dù người chơi hoàn thành ô và sau đó chơi lượt A hay là không hoàn thành ô và chơi lượt A thì cũng không ảnh hưởng đến những gì đối thủ làm, ngoại trừ bạn hoặc đối thủ hoàn thành được ô, vì vậy tốt hơn hết là bạn nên là người vẽ ô.
Các chuỗi có hai ô trông như thế nào và người chơi nên hoàn thành chuỗi như thế nào?
Chuỗi có hai ô trông giống như
+---+---+ +---+---+ +---+---+
hoặc | hoặc | |
+---+---+ +---+ + + + +hoặc như các phiên bản xoay chiều và phản chiếu của chúng. Vẽ đường ở giữa thì
+---+---+ +---+---+ +---+---+
| hoặc | | hoặc | | |
+---+---+ +---+ + + + +và được gọi trong tài liệu về trò chơi là Kiểu chơi Mạnh Mẽ .
Có nên lúc nào cũng đặt cả hai ô ở vị trí như vậy không?
Câu trả lời là có, người chơi nên hoàn thành cả hai ô vì thông thường người chơi sẽ vẽ xong từng ô theo dây chuyền.
vẽ một đường ở viền chuỗi được hình thành bởi hai ô
+---+---+ +---+---+ | hoặc | | +---+---+ +---+ +
và được gọi là Kiểu chơi Mạnh Mẽ..
khi vẽ một đường ở viền Hard-Hearted Handout thì
+---+---+ | | . +---+---+
đường vẽ ấy được gọi trong tài liệu là Xử lý đôi (DD).
Vẽ đường thẳng ở giữa hoàn thành cả hai hộp được gọi là Double-Crossed Move. Một vòng lặp luôn được hoàn thành bởi một động tác như vậy nhưng trong một chuỗi tuyến tính, nó chỉ có thể xảy ra khi đối thủ chơi một động tác DD để kiểm soát như được giải thích dưới đây. Trong tình huống như vậy, người chơi thực hiện một động tác chéo kép bị lừa, tức là 'vượt qua kép', do đó tên này cho nước đi đó.
Người chơi tiếp theo sau lượt chơi DD có nên hoàn thành cả hai ô không?
Vẽ một đường DD đồng nghĩa với việc hy sinh 2 ô cho đối phương vì họ có thể vẽ 1 đường ở giữa Bài Mạnh Mẽ và vẽ tiếp ở viền. Nếu bạn muốn biết lý do vì sao có việc hy sinh 2 ô này thì hẵng đọc để tìm hiểu!
Một nước đi trước DD giống như nước đi Kiểu chơi Mạnh Mẽ, cho đối phương lựa chọn để hy sinh, được gọi trong tài liệu là nước đi thua lỗ. Nước đi thua lỗ là nước đi mở chuỗi có 3 ô trở lên vì người chơi tiếp theo sẽ được lựa chọn để chơi theo kiểu DD như hình bên dưới.
Với Kiểu chơi Mạnh Mẽ, có nên hoàn thành cả hai ô ở vị trí như vậy không? Nếu không thì khi nào nên chơi lượt DD ở phần viền? Hãy thử chơi và quan sát sự khác biệt.
Hãy xem xét tất cả sự khác biệt. Nếu người chơi hoàn thành một ô thì nên hoàn thành luôn ô thứ hai. Nếu người chơi hoàn thành cả hai ô thì ghi được 2 điểm, nhưng sau đó người chơi phải thực hiện nước đi tiếp theo ở chỗ khác. Nước đi này khá mạo hiểm vì người chơi có thể sẽ mở một chuỗi có nhiều ô và cho đối phương cơ hội ghi nhiều điểm hơn Nếu một người vẽ đường ở viền, một người không hoàn thành một ô vuông và do đó người ta không phải chơi ở một nơi khác. Nhưng chơi ở biên giới cho người chơi tiếp theo cả hai ô như vừa thảo luận. Vì vậy, hai nước đi hoàn toàn có thể được thực hiện. Chúng ta sẽ giải đáp câu hỏi này sau để xác định nước đi nào tốt hơn trong tình huống nhất định.
Nếu một người chỉ có nước mở một chuỗi có 2 ô vì các nước đi khác mạo hiểm hơn, thì người chơi nên chơi theo Kiểu Mạnh Mẽ hay a Kiểu chơi Mạnh Mẽ?
Nếu một người chơi vẽ đường ở giữa chuỗi (a Hard-Hearted Handout) thì người còn lại buộc phải hoàn thành cả hai ô và sau đó thực hiện một nước đi khác mạo hiểm hơn.
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | | | cùng với việc vẽ đường ở chỗ khác
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Nếu người chơi nào vẽ đường ở viền chuỗi (Kiểu chơi Mạnh Mẽ) thì người chơi đó cho đối phương tùy chọn hoàn thành hai ô như trên hoặc vẽ ở viền (nước đi DD):
+---+---+ +---+---+ +---+---+
→ | → | |
+---+---+ +---+---+ +---+---+
Lựa chọn này có thể rất có giá trị, chúng ta sẽ tìm hiểu sau. Tặng cho đối phương thêm các lựa chọn không bao giờ là một nước đi hay; vì vậy, người chơi không nên chơi Kiểu chơi Mạnh Mẽ. Một cách chơi không tối ưu là người chơi có thể chơi Kiểu chơi Mạnh Mẽ để tìm ra kỹ năng của đối thủ, hoặc khiến cho đối thủ bị bối rối.
Người chơi nên làm gì khi mở chuỗi tuyến tính gồm ba hộp trở lên?
Nếu mở một chuỗi được thì có ít nhất một ô có 3 cạnh. Người chơi có thể hoàn thành tất cả các ô này, nhưng liệu có nên làm vậy không?
Có hộp nào chắc chắn nên được hoàn thành từ một chuỗi mở tuyến tính không?
Ta đều muốn hoàn thành càng nhiều ô càng tốt. Mặt khác, ta không muốn bị mất điểm khi vẽ đường ở vị trí khác và từ đó mở ra một chuỗi nhiều ô hơn cho đối thủ. Những gì chúng ta chắc chắn nên làm là hoàn thành tất cả các ô trừ 2 ô như đã nói ở trên. Sau đó, chúng ta có thể nghĩ đến việc hoàn thành 2 ô còn lại hoặc chơi DD. Chúng tôi sẽ nói thêm về điều đó sau.
Chuỗi có ≥ 3 ô được gọi là chuỗi dài. Chúng bao gồm cả hai, chuỗi tuyến tính và chuỗi vòng.
Tại sao lại có cách gọi đặc biệt cho những chuỗi như vậy?
Nếu chỉ còn lại chuỗi dài có ít nhất 3 ô, thì việc mở một trong số chúng, bất kể theo cách nào, đều có nghĩa là trên một mặt của nước đi có ít nhất 2 ô cạnh nhau. Vì vậy, người chơi khác có thể chơi nước Xử lý đôi - điều quan trọng trong việc xác định phần còn lại của trò chơi.
Cần bao nhiêu ô để tạo một vòng lặp?
Vòng lặp nhỏ nhất có thể có 4 ô:
+---+---+ | | + + + | | +---+---+
Nếu một vòng lặp được mở, người chơi có thể hoàn thành tất cả trừ 2 ô một cách an toàn mà không cần phải suy nghĩ không?
Hãy cùng thử điều đó. Vòng lặp mở nhỏ nhất có thể là
+---+---+ | | +---+ + | | +---+---+
Tất nhiên chúng ta có thể hoàn thành cả 4 ô và sau đó vẽ ở vị trí khác, nhưng nếu chúng ta muốn tránh điều đó thì sao? Nếu chúng ta hoàn thành hai hộp, chúng tôi sẽ đạt được
+---+---+ | | | +---+---+ | | +---+---+
nhưng chúng ta cần phải đi nước khác. Chúng ta không thể dừng lại ở đây vì tất cả các đường viền đã được vẽ nên chúng ta phải tiếp tục đi đến
+---+---+ | | | +---+---+ | | | +---+---+
và sau đó chúng ta phải vẽ ở vị trí khác và có thể mở ra một chuỗi thậm chí nhiều ô hơn cho đối thủ.
Thay vào đó, chúng ta có thể làm gì khác?
Chúng ta muốn vẽ mà không phải hoàn thành 1 ô để tránh phải vẽ ở vị trí khác. Cách duy nhất có thể dùng là chơi ở giữa vòng lặp đã mở để tạo
+---+---+ | | +---+---+ . | | +---+---+
Nước đi này không hoàn thành 1 ô và do đó sẽ tới lượt người chơi còn lại. Chúng tôi sẽ gọi nước đi này là Xử lý nhân đôi viết tắt là DDD. Cái giá phải trả là hy sinh 4 ô thay vì 2 ô. Với lượt của đối thủ, tốt nhất họ sẽ hoàn thành 4 ô trước và vẽ ở vị trí khác sau.
Điều gì sẽ xảy ra nếu một vòng lặp đã mở có nhiều hơn 4 ô?
Chúng ta có thể hoàn thành bao nhiêu ô tùy thích miễn là sau đó chúng tôi vẫn có thể chơi một nước đi không hoàn thành ô vuông. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể hoàn thành tất cả trừ 4 ô, chẳng hạn như mở
+---+---+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+ + ví dụ như cho + +---+---+ + | | | | +---+---+---+---+ +---+---+---+---+
và lấy 8 - 4 = 4 ô cho kết quả, ví dụ:
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | +---+---+---+---+
Bây giờ chúng tôi sẽ phải quyết định xem nên lấy 4 ô còn lại hay hy sinh chúng cho đối thủ bằng cách chơi
+---+---+---+---+ | | | | | + +---+---+---+ . | | | | +---+---+---+---+
Tìm hiểu thêm về điều đó sau.
Trong trường hợp một chuỗi mở hoặc trường hợp không chắc chắn là một số chuỗi đang mở, người chơi có thể hoàn thành bao nhiêu ô một cách an toàn mà không cần nghĩ đến việc có chơi DD hay không?Nếu có ít nhất một chuỗi tuyến tính mở có hai ô cạnh nhau, thì hãy hoàn thành tất cả các ô khác của chuỗi này và của tất cả các chuỗi mạch vòng và tuyến tính mở khác. Ngược lại, nếu chỉ có một hoặc nhiều chuỗi vòng mở, thì hãy hoàn thành tất cả trừ 4 ô của một chuỗi vòng mở và tất cả các ô của tất cả các chuỗi vòng mở khác. Sau khi hoàn thành các ô này, người ta có thể bắt đầu suy nghĩ về việc có nên chơi DD / DDD hay không.
Chúng ta biết rằng trò chơi bắt đầu với các nước đi ngẫu nhiên ngoại trừ việc cả hai người chơi tránh tạo ô 3 cạnh càng lâu càng tốt - tức là họ tránh mở chuỗi. Khi điều này trở nên không thể tránh khỏi, chúng ta coi đó là sự khởi đầu của Kết thúc.. Chúng tôi bắt đầu với nó vì nó là phần dễ nhất trong tất cả các trò chơi.
Phần Kết thúc
Giống như tất cả các trò chơi khác, càng về cuối trò chơi, việc dự đoán ai sẽ thắng trong số cách chơi tối ưu càng trở nên dễ dàng hơn. Do đó, chúng tôi bắt đầu phân tích từ phần cuối trò chơi. Trong phần Kết thúc, tất cả các nước đi sẽ là mở chuỗi hoặc hoàn thành ô hoặc là nước đi DD / DDD. : Khi người chơi phải mở một chuỗi thì chiến lược có thể là mở chuỗi nhỏ nhất trong số các chuỗi có sẵn để tới lượt của đối thủ sẽ vẽ được ít ô nhất. Hãy thử cách này trong một vài ví dụ.
Ví dụ 1
Giả sử rằng tất cả các ô đều được hoàn thành ngoại trừ hai chuỗi có 3 và 4 ô:
+ +---+---+ | | | | + +---+---+ | +---+---+---+ +---+---+---+
Người chơi A sẽ mở chuỗi ngắn hơn (với nước đi A1), người chơi B sẽ hoàn thành chuỗi đó và giành được 3 điểm, tiếp đó người chơi A sẽ giành được chuỗi nhiều ô hơn với số điểm từ hai chuỗi này A:B = (0 + 4) :( 3 + 0) = 4: 3.
+A9-+---+---+ | | | | +A8-+---+---+ | B5 A6 A7 +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
Nước đi A1 chính là nước đi thua lỗ, một nước đi cho đối phương lựa chọn để hy sinh ô.
Nhưng người chơi B rất thông minh và sẽ chỉ hoàn thành một ô với nước đi B2 (trong biểu đồ tiếp theo), sau đó chơi Xử lý đôi với B3. Sau đó A cần hoàn thành 2 ô với nước đi A4 - buộc phải mở ra chuỗi lớn bằng nhiều nước đi, như A5, và người chơi B hoàn thành 4 ô còn lại với số điểm cuối cùng là A: B = (2 + 0) :( 1+ 4) = 2: 5.
+B9-+---+---+ | | | | +B8-+---+---+ | A5 B6 B7 +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+Chúng ta thấy rằng trong tình huống này, việc hy sinh hai ô là có lợi cho người ơi B.
Ví dụ 2
Giả sử tất cả các ô đều được hoàn thành ngoại trừ một chuỗi có 3 ô và một vòng lặp có 4 ô.
+---+---+---+ | | | + + +---+ | | | +---+---+---+ +---+---+---+Tới lượt của người chơi A.
Trường hợp 1: A mở chuỗi có 3 ô.
Nếu sau nước đi A1, người chơi B hoàn thành hết dây chuyền ô, người chơi A hoàn thành được vòng lặp thì điểm từ hai dây chuyền này là A: B = (0 + 4) : ( 3 + 0) = 4 : 3.
+---+---+---+ | A7 | | +A6-+A8-+---+ | B5 | | +---+---+---+ B2 A1 B3 B4 +---+---+---+
Nếu sau nước đi A1, người chơi B chơi DD thì sau đó
+---+---+---+ | B7 | | +B6-+B8-+---+ | A5 | | +---+---+---+ B2 A1 A4 B3 +---+---+---+điểm từ hai chuỗi này là A: B = (2 + 0) :( 1 + 4) = 2: 5 nên B cũng có lợi khi chơi DD và đạt A: B = 2: 5.
Trường hợp 2: Người chơi A mở vòng lặp với 4 ô.
Nếu sau nước đi A1, người chơi B hoàn thành hết vòng lặp, người chơi A sẽ nhận được chuỗi ngắn hơn và điểm từ hai chuỗi này là A: B = (0 + 3) :( 4 + 0) = 3: 4.
+---+---+---+ | B3 | | +B2-+B4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B5 A6 A7 A8 +---+---+---+
Nếu sau nước đi A1, người chơi B chơi DDD với nước đi B2, chúng ta nhận được
+---+---+---+ | B2 | | +A3-+A4-+---+ | A1 | | +---+---+---+ B6 A5 B7 B8 +---+---+---+Và điểm từ hai chuỗi này sễ là A: B = (4 + 0) :( 0 + 3) = 4: 3. Trong trường hợp này tốt hơn hết là B KHÔNG chơi DDD sau đó để giành được A: B = 3: 4.
Chúng ta học được gì từ hai trường hợp này?
Trong trường hợp thứ hai, chúng ta thấy rằng cái giá khi chơi DDD trong một vòng lặp là khá cao (4 ô), vì thế người chơi thay vì đó sẽ chọn hoàn thành toàn bộ vòng lặp. Vậy người chơi A nên mở chuỗi nào trong ví dụ này? Tốt nhất là người chơi A nên mở vòng lặp đạt A: B = 3: 4 thay vì mở chuỗi ba hộp đạt A: B = 2: 5. Chúng ta biết rằng nếu các chuỗi có liên quan đến các vòng lặp thì chúng không nên được sắp xếp đơn giản theo kích thước (theo số ô) để quyết định chuỗi nào sẽ mở trước. Nhưng nên sắp xếp chúng theo kích thước - 2 nếu nó là một vòng lặp sẽ có tác dụng tại đây: 4−2 = 2 <4.
Ví dụ 3
Trong ví dụ này, chúng ta tìm hiểu thêm về thứ tự các chuỗi như nào để mở chuỗi. Hãy giả sử rằng tất cả các ô đều được hoàn thành ngoại trừ hai chuỗi tuyến tính với 3 và 4 ô cùng một vòng lặp với 4 ô như sau:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+Tới lượt của người chơi A. A chắc chắn sẽ không mở chuỗi tuyến tính lớn hơn với 4 ô nếu đã có một chuỗi tuyến tính có 3 ô.
Trường hợp 1: Người chơi A mở chuỗi có 3 ô.
Trước khi quyết định cách chơi tối ưu cho lượt người chơi B, hãy kiểm tra xem chuỗi nào trong số 2 chuỗi còn lại nên được mở trước:
+---+---+ +---+ | | | + + +---+ + | | | | +---+---+---+ + | | | | +---+---+---+---+
Ta có 2 người chơi C và D và người chơi C sẽ chơi trước.
Trường hợp 1.1: C mở vòng lặp
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| C1 | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ Nếu sau nước đi C1, người chơi D chơi DDD với nước đi D2 thì sau đó
+---+---+C5-+---+ | D2 | D6 | +C3-+C4-+---+D7-+ | C1 | | | +---+---+---+D8-+ | | | | D9 +---+---+---+---+
điểm từ hai chuỗi này là C: D = (4 + 0) :( 0 + 4) = 4: 4. Nếu người chơi D không chơi DDD mà sử dụng vòng lặp thì sau đó
+---+---+D5-+---+ | D3 | C6 | +D2-+D4-+---+C7-+ | C1 | | | +---+---+---+C8-+ | | | | C9 +---+---+---+---+
điểm từ hai chuỗi này cũng là C: D = (0 + 4) :( 4 + 0) = 4: 4.
Trường hợp 1.2: C mở chuỗi 4 ô
+---+---+C1-+---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
| | | |
+---+---+---+---+ Nếu sau nước đi C1 người chơi D hoàn thành cả chuỗi thì sau đó
+---+---+C1-+---+ | C8 | D2 | +C7-+C9-+---+D3-+ | D6 | | | +---+---+---+D4-+ | | | | D5 +---+---+---+---+
điểm là C: D = (0 + 4) :( 4 + 0) = 4: 4. Nếu sau nước đi C1 người chơi D chơi DD với nước đi D4 thì sau đó
+---+---+C1-+---+ | D8 | D2 | +D7-+D9-+---+D3-+ | C6 | | | +---+---+---+C5-+ | | | | D4 +---+---+---+---+số điểm sẽ là C: D = (2 + 0) :( 2 + 4) = 2: 6. Số điểm cao nhất sau khi người chơi D chơi nước C1 là C: D = 2: 6.
Chúng ta học được gì từ hai trường hợp này?
Người chơi tiếp theo (C) tốt nhất nên mở vòng lặp đạt C: D = 4: 4 hơn là chuỗi tuyến tính chỉ đạt C: D = 2: 6. Nếu chúng ta sắp xếp chuỗi theo kích thước - 2 để quyết định mở chuỗi nào trước thì (4−2) = 2 <4 sẽ cho kết quả chính xác. Bây giờ chúng ta có thể quyết định cách chơi tối ưu cho B trong:
+---+---+- +---+
| | |
+ + +---+ +
| | | |
+---+---+---+ +
A1 |
+---+---+ +---+
B nên hoàn thành chuỗi hay chơi DD?
Nếu B lấy chuỗi thì sau đó
+---+---+A9-+---+ | A7 | A10 | +A6-+A8-+---+A11+ | B5 | | | +---+---+---+A12+ B2 A1 B3 | A13 +---+---+B4-+---+
điểm của 3 chuỗi này là A: B = (0 + 4 + 0) :( 3 + 0 + 4) = 4: 7. Nếu người chơi B chơi thay DD bằng nước đi B3 thì sau
+---+---+B9-+---+ | B7 | A10 | +B6-+B8-+---+A11+ | A5 | | | +---+---+---+A12+ B2 A1 A4 | A13 +---+---+B3-+---+
điểm của 3 chuỗi này là A: B = (2 + 0 + 4) :( 1 + 4 + 0) = 6: 5. Vì vậy, điểm cao nhất mà B có thể đạt được sau nước đi A1 với việc không chơi DDD là A: B = 4: 7. Trong cả hai trường hợp, chúng ta biết rằng vòng lặp sẽ được mở sau đó.
Trường hợp 2: Người chơi A mở vòng lặp với 4 ô:
+---+---+ +---+
| | |
+ + +---+ +
| A1 | | |
+---+---+---+ +
|
+---+---+ +---+
Trường hợp 2.1: Người chơi B hoàn thành toàn bộ vòng lặp.
Người chơi chơi DDD cho chuỗi nhỏ sẽ dẫn đến
+---+---+B9-+---+ | B3 | A10 | +B2-+B4-+---+A11+ | A1 | | | +---+---+---+A12+ B5 A6 B8 | A13 +---+---+A7-+---+cho điểm 3 chuỗi A: B = (0 + 1 + 4) :( 4 + 2 + 0) = 5: 6.
Trường hợp 2.2: Người chơi B hy sinh vòng lặp.
Một lần nữa, người chơi chơi DDD cho chuỗi nhỏ sẽ dẫn đến
+---+---+A9-+---+ | B2 | B10 | +A3-+A4-+---+B11+ | A1 | | | +---+---+---+B12+ A5 B6 A8 | B13 +---+---+B7-+---+cho điểm 3 chuỗi A: B = (4 + 2 + 0) :( 0 + 1 + 4) = 6: 5.
Chúng ta học được gì từ trường hợp 2.1 và 2.2?
Vì cái giá của việc chơi DDD trong một vòng lặp khá cao, nên tốt nhất người chơi B hoàn thành toàn bộ vòng lặp và giàn điểm A: B = 5: 6.
Chúng ta học được gì từ trường hợp 1 và 2?
Chúng ta có hai chuỗi tuyến tính với 3 và 4 ô và một vòng lặp có 4 hộp. Tốt nhất là người chơi A nên mở vòng lặp và đạt số điểm là A: B = 5: 6. Nếu người chơi A mở chuỗi có 3 ô thì nó chỉ đạt A: B = 4: 7. Người chơi B tốt nhất là không mở chuỗi có 4 ô trước chuỗi có 3 ô. Do đó, việc phân loại chuỗi đơn giản theo kích thước để xác định chuỗi nào sẽ mở tiếp theo là không có tác dụng. Nhưng sắp xếp chúng theo kích thước - 2 nếu đó là một vòng lặp có vẻ ổn vì (4−2) = 2 <3 cho thấy rằng vòng lặp nên được mở trước.
Thứ tự các chuỗi được mở
Với kinh nghiệm thu được từ các ví dụ trên, chúng ta hiện đang giải quyết vấn đề về việc xác định thứ tự các chuỗi sẽ được mở và hoàn thành. Thứ tự chuỗi này được sử dụng để xác định thời điểm ai sẽ chơi DD / DDD, ai sẽ thắng trò chơi. Tin tốt là ở phần Kết thúc, chuỗi mở chuỗi này không phụ thuộc vào lượt của ai hoặc ai đã chơi DD / DDD trước đó. Lý do là tại bất kỳ thời điểm nào trong trò chơi, chỉ có các đường vẽ là quan trọng, không phải là vẽ bởi ai và không theo 1 thứ tự nào cả. Ngay cả điểm số hiện tại cũng không ảnh hưởng đến lối chơi tối ưu. Biến 1 vấn đề khó thành nhiều vấn đề dễ giải hơn đã là một thành công. Trong trường hợp này, nhiệm vụ khó nhằn cho việc xác định xem ai sẽ chơi nước nào trong phần Kết thúc được chia thành hai vấn đề: thứ tự mở chuỗi và người chơi nào cũng như khi nào họ chơi DD / DDD. Trước khi bắt đầu, chúng ta cần suy nghĩ về xu hướng chung trong phần Kết thúc.
'Giá trị' của các chuỗi đã mở sẽ giảm hay tăng theo thời gian?
Đối thủ được trao 1 chuỗi mở. Do đó, chuỗi phải có 'giá trị' ít nhất có thể, trong đó giá trị chính là số lượng ô trong chuỗi. Do đó, trong suốt quá trình của phần Kết thúc, 'giá trị' của các chuỗi đã mở chỉ có thể tăng lên hoặc không đổi chứ không thể giảm xuống. Trong ví dụ trên, ta thấy rằng việc mở chuỗi với ít ô nhất để đối thủ hoàn thành sẽ không có tác dụng. Nhưng chúng ta muốn sắp xếp các chuỗi theo một số 'giá trị' bởi vì mọi người chơi đều muốn mở chuỗi ít giá trị nhất cho đối thủ. Đối với đối thủ, giá trị của một chuỗi không chỉ bao gồm số lượng ô; điều quan trọng là liệu chuỗi đã mở có phù hợp để chơi DD / DDD hay không. Một nước đi khá hợp lý cho việc chơi DD là lấy số ô trừ đi 2 nếu chuỗi là một vòng lặp. Vì vậy, để sắp xếp chuỗi theo 'giá trị' trong đó ta lấy 'giá trị' = # hộp nếu chuỗi KHÔNG phải là một vòng lặp và lấy 'giá trị' = # hộp - 2 nếu chuỗi LÀ một vòng lặp.
Chúng tôi bắt đầu với các vị trí trên bảng nơi mỗi ô có ít nhất 2 cạnh. Để làm được điều đó, ta có thể xây dựng hai quy tắc sắp xếp thứ tự cho tất cả các chuỗi.
Quy tắc 2: Để sắp xếp chuỗi, lấy chuỗi cuối cùng và chuỗi tuyến tính lớn nhất; nếu không có chuỗi tuyến tính thì lấy chuỗi lớn nhất.
Chứng minh cho Quy tắc 2
Người chơi giữ quyền kiểm soát để không mở chuỗi thì sẽ không sắp xếp được chuỗi. Vì vậy, người chơi nào sắp xếp chuỗi cũng muốn thực hiện việc giành hoặc giữ quyền kiểm soát (tức là chơi các nước đi DD / DDD) để gây nhiều sức ép cho đối với đối thủ càng tốt. Một bước đi DD sẽ mất đi 2 ô và một bước đi DDD sẽ mất 4 ô. Cái giá này phải được trả cho tất cả các chuỗi ngoại trừ chuỗi cuối cùng. Do đó, trong việc sắp xếp các chuỗi, để tối đa hóa tổng ô mà đối thủ phải bỏ ra, chuỗi cuối cùng phải là tuyến tính nếu có thể và không phải là một vòng lặp. ∎
Quy tắc 3: Nếu trong phần Kết thúc, tất cả các ô đã có ít nhất 2 cạnh thì để sắp xếp tất cả các chuỗi khác, hãy sắp xếp chúng theo (số ô - 2 nếu là một vòng lặp).
Minh chứng cho Quy tắc 3
Để người chơi tiếp theo nắm hoặc giữ quyền kiểm soát, giá trị của một chuỗi là số ô của nó - 2 nếu nó là một chuỗi tuyến tính và - 4 nếu nó là một vòng lặp. Để sắp xếp các chuỗi, người chơi sẽ nhận được cùng một kết quả nếu họ chỉ trừ 2 trong trường hợp là vòng lặp. Điều gì sẽ xảy ra nếu đối thủ không thể kiểm soát và không nắm quyền kiểm soát trong lượt tiếp theo? Có phải đối thủ sẽ không được lợi khi đến lượt vẽ trong một vòng lặp đã mở với nhiều ô hơn là nhận được một chuỗi tuyến tính có cùng 'giá trị' nhưng ít ô hơn? Câu trả lời là không! Nếu đối thủ hoàn thành toàn bộ vòng lặp thì sau đó khi lại đến lượt của người chơi này, sẽ có ít hơn một vòng lặp với việc trả giá 2 ô để giành quyền kiểm soát. ∎ Ta đã thấy kết quả đó trong Ví dụ 3 trường hợp 2.1, trong đó, sau khi người chơi A mở vòng lặp với nước đi A1, người chơi B nắm toàn bộ vòng lặp nhưng do đó, A phải chăng sẽ kiểm soát với nước đi A7 và nhận về kết quả tốt nhất có thể.
Các quy tắc trên đều rất rõ ràng nếu tất cả các ô thuộc một chuỗi, tức là nếu tất cả các ô đã được vẽ ít nhất 2 cạnh. Nhưng nếu có ô chưa có cạnh nào và ô chỉ có 1 cạnh thì sao?
Những ô này thuộc chuỗi nào?
Quy tắc 4: Để thiết lập các chuỗi được sắp xếp theo giá trị, hãy thực hiện chu kỳ các nước đi cho đến khi hoàn thành toàn bộ bàn DOT.
- Mở một trong các chuỗi mà giá trị (số o, hoặc nếu là một vòng lặp thì số ô −2) là nhỏ nhất với một ngoại lệ: Nếu vẫn còn ít nhất một vòng lặp, cho dù được kết nối hay không; và nếu chỉ có một chuỗi tuyến tính không được kết nối hay không sự kết nối chỉ gồm các chuỗi tuyến tính thì không mở chuỗi tuyến tính không được kết nối cuối cùng.
- Hoàn thành chuỗi đã mở mà không cần đếm ô. Việc vẽ các đường ở cuối một chuỗi tuyến tính có thể thay đổi một ô 1 cạnh thành 2 cạnh và do đó có thể hợp nhất hai chuỗi tuyến tính hoặc cắt bỏ một vòng lặp.
Nếu trong Phần Hồi Kết vẫn còn ô chưa có cạnh nào và ô có 1 cạnh thì người ta có thể coi ô đó là một điểm và nghĩ rằng các chuỗi là các đường kết thúc tại các điểm như vậy hoặc kết thúc ở viền của bàn DOT và sau đó nhận được một điểm bổ sung nhân tạo.
Các điểm nối với nhau bằng các đường thẳng được gọi là biểu đồ trong toán học.
1 ngoại lệ trong Quy tắc 4 được xây dựng bằng 'ngôn ngữ đồ thị': Không mở một chuỗi tuyến tính tương ứng với một đường không được kết nối với biểu đồ còn lại nếu biểu đồ còn lại có một phần không được kết nối chứa một vòng lặp và không có phần không được kết nối nào không chứa vòng lặp (và do đó được gọi là 'cây khung' trong ngôn ngữ của đồ thị).
Ví dụ 4: Một biểu đồ như chữ 'T'
ô có 1 cạnh có ghi chữ 'T':
+---+---+---+ + | T | | + + + + + | | | | + + +---+---+ | | | + +---+---+ +
Biểu đồ tương ứng với bảng này sẽ giống như một chữ T với 4 điểm, một trong đó - và | tại T gặp nhau và 3 điểm ở 3 đầu của T.
Chuỗi nhỏ nhất trong 3 chuỗi được gắn vào ô 1 cạnh nằm ở bên trái của nó. Bằng cách mở nó ra và hoàn thành nó
+---+---+---+ + +---+---+---+ + | | | | | | | + + + + + +---+ + + + | | | | | | | | +---+ +---+---+ +---+ +---+---+ | | | | | | + +---+---+ + +---+---+---+ +
người ta thấy rằng bảng có hai chuỗi thẳng, một có 3 và một có 9 ô.
Ví dụ 5: Một biểu đồ giống như chữ 'P'
Ô 1 có ghi chữ 'P':
+---+---+---+---+ | | + +---+---+ + | P | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
Vẽ mặt bên trên ô 1 cạnh hoặc bên phải hộp này sẽ tạo và mở một chuỗi tuyến tính lớn có 12 ô
+---+---+---+---+ | | +---+---+---+ + | | + +---+---+---+ | | +---+---+---+ +
cái nào sẽ không muốn đưa cho đối phương. Vẽ đường bên dưới ô 1 cạnh sẽ phân vùng bảng thành một chuỗi tuyến tính đã mở với 4 ô và một vòng lặp với 8 ô.
+--+--+--+--+ | | + +--+--+ + | | +--+--+--+--+ | | +--+--+--+ +
Trong Quy tắc 4 ở trên, một ngoại lệ đã được đưa ra. Ví dụ sau sẽ minh họa cho ngoại lệ này.
Ví dụ 6: Một biểu đồ 'P' cộng với một chuỗi tuyến tính không được kết nối
Có thể mở hai chuỗi thẳng, một ở bên phải và một ở dưới cùng.
+---+---+---+---+ + | P | | + + +---+ + + | | | | + +---+---+---+ + | | | +---+---+---+ + +
Trường hợp 1. Mở chuỗi ngắn nhất trước tiên
21 nước đi đã được thực hiện, vì vậy nếu người chơi A bắt đầu thì sẽ tới lượt của người chơi B.
Nếu sau khi mở chuỗi nhỏ nhất với nước đi B1, người chơi A giành quyền kiểm soát ngay lập tức, chúng ta nhận được
+---+---+---+---+B1-+ | B5 B12 | | +A6-+ +---+ +A2-+ | | | | +A7-+---+---+---+B4-+ | A8 A9 B11 | | +---+---+---+A10+A3-+
và điểm A: B = (1 + 4 + 6) :( 2 + 2 + 0) = 11: 4 trong đó (2 + 2 + 0) có nghĩa là người chơi B nhận được từ 3 chuỗi đã mở theo thứ tự đó 2, 2 và 0 ô. Bởi vì người chơi B chỉ có thể mở chuỗi tuyến tính thứ 2 với nước đi B5, người chơi A có thể giữ quyền kiểm soát với nước đi A10 với chi phí chỉ là 2 và nhận được vòng lặp miễn phí.
Trường hợp 2. Mở chuỗi tuyến tính dài hơn trước tiên
Sau khi người chơi B mở chuỗi dài hơn với nước đi B1 bên dưới và chuỗi này được hoàn thành, ai lấy được (các) ô vuông cuối cùng sẽ phải mở chuỗi. Theo Quy tắc 2, người chơi B sẽ mở vòng tiếp theo với nước đi B8 để khiến việc kiểm soát / giữ quyền kiểm soát trở nên tốn kém hơn. Chiến lược này hoạt động vì việc giành / giữ quyền kiểm soát trong vòng lặp không có ý nghĩa đối với người chơi A vì mất 4 ô nhưng sẽ chỉ thắng 3 ô trong chuỗi cuối cùng.
+---+---+---+---+A14+ | B1 A13 B8 | | +A2-+A12+---+A9-+B15+ | | A11 A10 | | +A3-+---+---+---+B16+ | A4 A5 B7 | | +---+---+---+A6-+B17+
Điểm là A: B = (4 + 6 + 0) :( 2 + 0 + 3) = 10: 5
Nếu người chơi A không chơi DD trong chuỗi đầu tiên:
+---+---+---+---+B14+ | B1 B13 A8 | | +A2-+B12+---+B9-+A15+ | | B11 B10 | | +A3-+---+---+---+A16+ | A4 A5 A6 | | +---+---+---+A7-+A17+
thì điểm A : B = (6 + 0 + 3) : ( 0 + 6 + 0) = 9 : 6 sẽ kém hơn đối với người chơi A. Lý do là chơi trong vòng lặp sau khi nó được mở (nước đi B9 ở trên) có giá trị 6−3 = 3 điểm và việc nắm quyền kiểm soát trong chuỗi dài đầu tiên chỉ mất 2 điểm, do đó, việc kiểm soát trong chuỗi đầu tiên có giá trị. 10: 5 tốt hơn 9: 6 cho người chơi A.
Khi so sánh trường hợp 1 và 2 và hai tỷ số 11: 4 và 10: 5, rõ ràng người chơi B nên mở chuỗi dài hơn trước. Lý do là nếu B mở chuỗi tuyến tính không được kết nối trước, thì vòng lặp sẽ được hoàn thành sau cùng, có nghĩa là người chơi A sẽ không phải mất 4 điểm khi chơi DDD trong vòng lặp để giữ quyền kiểm soát. Ta sẽ phải vi phạm Quy tắc 2. Người chơi có thể chỉ ra rằng nếu chuỗi không được kết nối có m ô, thì chuỗi tuyến tính được kết nối có n ô và vòng lặp có p ô, sau đó người chơi B sẽ có 4 điểm từ 2 lần DD khi mở chuỗi đầu tiên không được kết nối trong khi khi B mở chuỗi tuyến tính kèm theo thì B nhận được
min ( p + max (0, m -4), min (6, m +2))
nhiều điểm. Giá trị thấp nhất là khi p có giá trị thấp nhất là 4 (vòng lặp có ít nhất 4 ô) và m có giá trị thấp nhất là 3 (ngắn nhất chuỗi tuyến tính dài, nếu chuỗi ngắn nhất chỉ có 2 ô sẽ được chơi với Kiểu chơi Mạnh Mẽ ngay lập tức và công thức sẽ khác). Đối với p = 4 và m = 3 người chơi B sẽ nhận được
min(4 + max(0,-1),min(6,5)) = min(4+0,5) = 4
và đối với p > 4 hoặc m > 4 người chơi B sẽ được hơn 4 điểm.
Điều gì xảy ra nếu có các chuỗi bằng nhau, khác nhau và có cùng giá trị thấp nhất?
Nếu các chuỗi khác nhau có cùng giá trị thấp nhất thì phần mềm của chúng tôi sử dụng quy tắc để mở một chuỗi được kết nối. Mục đích đằng sau là có khả năng thông qua chuỗi đã mở này, một vòng lặp có thể được thực hiện được, điều này có thể khiến việc kiểm soát / giữ lại chỉ tốn kém hơn.
Trong trò chơi, người ta thường kiểm soát bằng cách chơi DD / DDD khi bắt đầu Phần Hồi Kết. Nhưng nếu có nhiều chuỗi có 3 ô và các vòng lặp có ít hơn 8 ô thì tốt nhất bạn không nên chơi DD / DDD và không giành quyền kiểm soát. Do đó, ta cần một thuật toán chung và không chỉ một quy tắc ngón tay cái.
Khi nào thì nên chơi DD / DDD và khi nào thì không?
Trong tài liệu về trò chơi Dots, cách chơi đầu tiên của DD / DDD còn được gọi là giành quyền kiểm soát. hay có nghĩa là người chơi nắm quyền kiểm soát xem ai có được chuỗi dài cuối cùng. Điều này có thể không giống với việc kiểm soát trò chơi và giành chiến thắng bằng cách KHÔNG chơi DD / DDD như chúng ta sẽ thấy bên dưới.
Khi một người chơi lựa chọn chơi DD / DDD thì người chơi này có quyền lựa chọn đổi vai trò với đối thủ với 2 điểm (DD) hoặc 4 điểm (DDD). Nếu cách chơi tối ưu trong các chuỗi còn lại sẽ giành được điểm thì người chơi có thể quyết định xem liệu có đáng để đổi vai trò với 2 điểm (nếu chuỗi là tuyến tính) hay với 4 điểm (nếu chuỗi là một vòng lặp). Cùng với những gì đang có ở chuỗi hiện tại, người chơi có thể xác định trước điểm số trước khi mở chuỗi hiện tại. Phép tính này có thể được bắt đầu ngược từ cuối trò chơi nếu người chơi biết trình tự của các chuỗi đã mở. Trình tự như vậy có thể được xác định bởi Quy tắc 4 ở trên.
Quy tắc 5: Quyết định có chơi DD / DDD hay không bằng cách sử dụng mã giả bên dưới.
Trong đoạn mã giả máy tính sau đây, biến A là số điểm nhận được trong phần còn lại của trò chơi bởi người chơi mở chuỗi tiếp theo, và biến B là số điểm mà đối thủ thu được. Số ô còn lại là A + B. Ta cùng tính toán ngược: chuỗi được mở cuối cùng trong trò chơi là chuỗi 1, chuỗi trước đó là chuỗi 2, v.v. Chuỗi hiện tại là chuỗi k. Bất kỳ chuỗi j nào cũng có n_j ô. Biến chơi DD ghi lại liệu có chơi DD / DDD trong chuỗi j hay không.
Trong (các) dòng mã giả sau
- (1)-(3) khởi tạo 3 biến bởi kết quả của việc chơi chuỗi cuối cùng.
- (4)-(22) cập nhật A, B, chơi DD cho chuỗi j trong đó j chạy ngược lại từ chuỗi cuối cùng trừ chuỗi (j = 2) đến chuỗi k hiện tại.
- (5)-(13) nếu chuỗi j là tuyến tính thì sẽ có 2 điểm
- (14)-(22) nếu chuỗi j là một vòng lặp thì sẽ có 4 điểm
- (6)-(9), (15)-(18) nếu lợi nhuận B-A lớn hơn số điểm (2 hoặc 4) thì hãy chơi DD và giảm đi B thêm nó vào A. Trong mọi trường hợp B lấy n_j.
(1) A = 0
(2) B = n_1
(3) playDD = sai
(4) Đối với mỗi chuỗi j từ 2 đến k:
(5) Nếu chuỗi j là tuyến tính:
(6) Nếu B > (A + 2):
(7) playDD = thật:
(8) B = B + n_j - 2
(9) A = A + 2
(10) Khác:
(11) playDD = sai:
(12) B = A + n_j
(13) A = B
(14) Khác → Nếu chuỗi j là một vòng lặp:
(15) Nếu B > (A + 4):
(16) playDD = thật
(17) B = B + n_j - 4
(18) A = A + 4
(19) Khác
(20) playDD = sai
(21) B = A + n_j
(22) A = B
Sau việc tính toán này A là điểm của người chơi đã mở chuỗi hiện tại B là điểm của đối thủ và Chơi DD cho biết đối phương có nên chơi DD / DDD bây giờ hay không. ∎ (Hết Quy tắc 5)
Mã giả này có vẻ khó đối với người không phải là lập trình viên, nhưng rất dễ giải trong suy nghĩ vì nó đơn thuần là kiểm tra xem liệu lợi ích của việc kiểm soát có lớn hơn cái giá của nó hay không, ví dụ như việc chơi DD / DDD.
Câu hỏi Kiểm tra
Ta biết rằng các chuỗi giá có trị thấp nhất được mở đầu tiên. Liệu điều đó có nghĩa là chơi DD / DDD sẽ có lợi hơn về cuối trò chơi hay không?
Nói cách khác, liệu chơi DD / DDD có nghĩa là người chơi cần phải chơi cho đến khi kết thúc vì nếu không đối thủ sẽ giành quyền kiểm soát và giành chiến thắng hay không?
Trong hầu hết các trường hợp thì câu trả lời là có. Nhưng chúng ta đã thấy trong Ví dụ 6-trường hợp 2 rằng một số vòng lặp giá trị thấp chỉ có thể truy cập được sau khi hoàn thành các chuỗi tuyến tính có giá trị cao hơn. Do đó, mặc dù không có đủ mục đích để chơi DDD khi vòng lặp được mở (chuỗi cuối cùng chỉ có 3 ô trong khi DDD cần 4 ô), thì vẫn có mục đích để chơi DD trước đó với chi phí chỉ là 2.
Câu hỏi Kiểm tra
Hãy giả sử rằng ai đó đang đánh giá xem có nên chơi DD / DDD hay không. Họ quyết định chơi nó và nhận chuỗi cuối cùng.
Liệu người chơi đó có thắng mọi lúc?
Câu trả lời là không. Ví dụ, giả sử chúng ta có 5 chuỗi tuyến tính với 3 ô ở mỗi chuỗi. Lấy cái cuối cùng với mục đích là 3 ô, đủ để trả cho 3 DD, mỗi hộp có giá là 2 và nhận được 1 hộp. Điều đó có nghĩa là chuỗi đầu tiên được hoàn thành toàn bộ và 3 lượt chơi DD khác cho điểm (3 + 2 + 2 + 2 + 0): (0 + 1 + 1 + 1 + 3) = 9: 6 cho người chơi không hoàn thành chuỗi cuối cùng.
Các quy tắc chơi Phần Hồi Kết của ta có hoàn hảo không?
Câu trả lời là không. Khi một chuỗi có nhiều chuỗi khác kết nối thông qua các ô chưa có cạnh hay chỉ có 1 cạnh thì một số trong số chúng có thể có cùng số ô và khi đó ta cần lý thuyết hoặc tìm kiếm cải tiến hơn để chọn ra chuỗi tối ưu dựa trên các chuỗi khác mà ta có thể vẽ sau này thông qua việc hoàn thành các chuỗi đầu tiên.
Liệu điều đó có tạo ra sự khác biệt cho lý thuyết của phần chơi ở trên không nếu đối thủ chơi Kiểu chơi Mạnh mẽ một cách không hề tối ưu?
Các vị trí
+---+---+ +---+ + | hoặc | | +---+---+ +---+---+
hoặc các phiên bản xoay chiều và phản chiếu của chúng khi dựa trên quy tắc của chúng tôi như bất kỳ chuỗi tuyến tính nào khác, cũng chỉ có 2 ô. Các chuỗi này cung cấp cho phép người chơi tiếp theo được lựa chọn để hoàn thành chuỗi hoặc chơi DD để chúng được coi như chuỗi dài đã mở có ít nhất 3 ô.
Quy tắc Chuỗi dài
Quy tắc 6: Người chơi đầu tiên nên cố gắng làm cho số chấm + số chuỗi tuyến tính dài thành số chẵn và người chơi thứ hai nên cố gắng đặt giá trị này thành số lẻ.
Chứng minh cho quy tắc
Để bắt đầu thì chúng tôi sẽ giới thiệu một số biến trong đó '#' là viết tắt của 'số':
nt = # lượt (# số lần dựa trên việc người chơi vẽ các nước đi)
nd = # dấu chấm
r = # hàng ngang các dấu chấm
c = # cột các dấu chấm
nl = # đường vẽ
nb = # ô
nc = # các chuỗi dài
nz = # lượt mở ra chuỗi dài đầu tiên trong Phần Hồi Kết
Ta bắt đầu với việc tìm ra một mối quan hệ được gọi là Nhận dạng Euler.
nb = (r−1)(c−1) = rc − r − c + 1
nd = rc
nl = # dòng ngang + # dòng dọc
= r(c−1) + c(r−1)
= 2rc − r − c
vì thế
nl = nb + nd − 1 .
Mối quan hệ này tương đương với Nhận dạng Euler có giá trị đối với các đồ thị không có quy luật, tức là bất kỳ số nd các dấu chấm nào được liên kết bởi nl đường kẻ bất kỳ, không chỉ theo chiều dọc và chiều ngang, bao quanh nf mặt mà trong trường hợp của ta là nf = nb + 1 vì lưới hình chữ nhật gồm các chấm có thêm một mặt xung quanh, cũng được tính vào Nhận dạng Euler:
nl − nd + 2 = nf (= nb + 1).
Tiếp theo, ta tính số lượt của toàn bộ trò chơi.
nt = nl − (Số lần vẽ một đoạn để hoàn thành ít nhất 1 ô)
− 1 {Hoàn thành ô cuối cùng vẫn sẽ không có lượt chơi tiếp.})
= nl − (nb − (# nước đi hoàn thành 2 ô) − 1)
= nl − nb + 1 + (# nước đi hoàn thành 2 ô)
= nd {sử dụng mối quan hệ trước đó của ta nl = nb + nd − 1} + (# DD trong chuỗi tuyến tính) + (# các vòng lặp) + (# DDD trong các vòng lặp)
Đường kẻ cuối là khi hoàn thành một vòng lặp, nước đi cuối cùng luôn hoàn thành 2 ô và nếu DDD được chơi trong một vòng lặp thì nước đi khác cũng hoàn thành 2 ô. Mối quan hệ dẫn xuất
Number of Turns Formula:
nt = nd + (# DD trong chuỗi tuyến tính) + (# of vòng lawk[) + (# of DDD trong vòng lặp)
là một quy tắc chuẩn xác.
Tính toán nz là lượt mở ra chuỗi dài đầu tiên
Sau khi chuỗi dài đầu tiên được mở trong Phần Hồi Kết, nếu không có DD và không có DDD nào được chơi, thì số lượt còn lại bằng số chuỗi dài khi mỗi người chơi hoàn thành một chuỗi. Do đó, nếu (# of DD) = (# of DDD) = 0 thì
nz {# lượt mở ra chuỗi dài đầu tiên trong Phần Hồi Kết}
= nd + (# vòng lặp) − (# chuỗi dài)
nd − (# chuỗi tuyến tính dài)
Công thức cho nz cũng hợp lệ nếu chơi DD / DDD.
Chứng minh:
Bất kỳ lượt chơi DD / DDD nào cũng không thể thay đổi những gì đã xảy ra trước đó, cụ thể là lượt nz dẫn đến việc mở chuỗi dài đầu tiên trong Phần Hồi Kết. Đối với mỗi lần DD và DDD được chơi, số lượt trong Phần Hồi Kết tăng lên 1 (hãy xác thực) vì vậy khi lấy tổng số lượt trừ số lượt trong trò chơi kết thúc thì cả (# DD) và (# DDD) sẽ bị hủy và sau đó ta sẽ nhận được cùng một giá trị cho nz như thể không có lần chơi DD / DDD nào.
Vì vậy, không người chơi nào muốn thực hiện nước đi đó, tức là người chơi đầu tiên muốn nz là số chẵn chứ không phải số lẻ. 2 × (# chuỗi tuyến tính dài) là một số chẵn vì vậy việc thêm nó vào nz sẽ không thay đổi dù nz là lẻ hay chẵn, điều này cuối cùng dẫn đến kết quả là
Quy tắc chuỗi dài: Người chơi đầu tiên cố gắng tạo (# dấu chấm) + (# chuỗi dài tuyến tính) thậm chí ngay cả khi người chơi thứ hai đang cố gắng làm cho nó thành lẻ. ∎
Điều suy ra sai từ Quy tắc Chuỗi dài
Trong một số thông tin về trò chơi DOTS, hai giả định không cần thiết được đưa ra để suy ra Quy tắc Chuỗi dài.
1. Giả định: Nếu cả hai người chơi kết thúc trò chơi một cách tối ưu, thì ai chơi nước đi cuối cùng sẽ thắng vì giá trị của chuỗi cuối cùng và chuỗi lớn nhất rất cao và cả vì người chơi không phải đổi lượt hay mở chuỗi khác cho đối thủ.
Vì vậy, người chơi đầu tiên muốn nt = (# lượt) là số lẻ để có thể thực hiện nước đi đầu tiên cũng là cuối cùng và giành chiến thắng.
2. Giả định: Tất cả các chuỗi dài ngoại trừ chuỗi cuối cùng được chơi với DD / DDD. Do đó (# vòng lặp) + (# DDD trong các vòng lặp) là chẵn và người chơi có thể bỏ qua; và nt = nd + (# DD trong các chuỗi tuyến tính) trở thành nt = nd + (# các chuỗi tuyến tính dài) - 1. Do đó người chơi đầu tiên muốn nt này là số lẻ để có thể thực hiện nước đi cuối cùng khi (# dấu chấm) + (# chuỗi thẳng dài) là chẵn - Quy tắc Chuỗi dài. ∎
Nhưng ta đều biết rằng 2 giả định này không cần thiết để khiến cho Quy tắc Chuỗi dài đúng. Ví dụ tiếp theo sẽ chứng minh điều này.
Quy tắc cho một người chơi sẽ đảm bảo cho sự thành công nào?
Quy tắc chuỗi dài đưa ra một điều kiện cần và đủ để quyết định người chơi nào là người đầu tiên chơi trong chuỗi dài được mở đầu tiên trong trò chơi cuối cùng. Người chơi P này có thể chọn chơi DD / DDD hay không chơi DD / DDD. Chúng tôi có 2 trường hợp.
Nếu chuỗi dài đầu tiên là tuyến tính thì nó có ít nhất 3 hộp và chơi DD có chi phí là 2 hộp.
• Nếu động cơ để chơi DD là <2 thì người chơi P sẽ không chơi DD và lấy toàn bộ chuỗi đầu tiên và đối thủ sẽ nhận được nhiều nhất 1 ô nữa từ các chuỗi còn lại, vì vậy P nhận được trong trò chơi cuối cùng ít nhất 3−1 = 2 ô nhiều hơn đối thủ.
• Nếu ưu đãi là 2 thì việc P chơi DD hay không chơi DD trong chuỗi dài đầu tiên không quan trọng và do đó tăng thêm ≥3 hộp trong trò chơi cuối cùng.
• Nếu phần thưởng là >2 thì P chơi DD và nhận được >3 ô nữa trong endgame.
vòng lặp thì trong trường hợp xấu nhất, chuỗi đầu tiên có 4 hộp và phần thưởng là 4 và sau đó cho dù một người chơi DDD hay không, cả hai người chơi sẽ nhận được cùng số điểm trong trò chơi cuối cùng. Nhưng nếu ưu đãi là >4, thì chơi DDD sẽ cho nhiều điểm hơn và nếu ưu đãi là <4 thì không chơi DDD sẽ cho nhiều điểm hơn vì vòng lặp có ít nhất 4 hộp. Và nếu chuỗi dài đầu tiên là một vòng lặp có nhiều hơn 4 ô, thì P sẽ nhận được những điểm thêm này như một lợi thế trong trò chơi cuối cùng, ngay cả khi ưu đãi là 4.
Sự khác biệt điểm số có thể xảy ra khi bắt đầu trò chơi kết thúc là gì?
& đạn; Nếu số chuỗi 1 là chẵn và số chuỗi 2 tuyến tính là chẵn thì chênh lệch điểm số khi bắt đầu trò chơi kết thúc bằng không.
• Nếu số chuỗi 1 là số chẵn và số chuỗi 2 tuyến tính là lẻ thì điểm số khi bắt đầu trò chơi kết thúc là 2.
& gạch đầu dòng; Nếu số chuỗi 1 là số lẻ thì sau khi hoàn thành tất cả 1 chuỗi, chênh lệch điểm là 1. Sau đó, mỗi chuỗi 2 hoàn thành sẽ chỉ lật giữa cả hai người chơi đang dẫn trước 1 ô.
Vậy Quy tắc chuỗi dài quan trọng như thế nào?
Khi nào Quy tắc chuỗi dài không quyết định kết quả?
Quy tắc nào nên được tuân theo sau đó?
Ví dụ 7: Kiểm tra quy tắc trong một tình huống bất thường
Trên bàn DOTS này, một số lẻ 5 × 3 = 15 nước đi đã được thực hiện. Nước đi 16 sẽ mở chuỗi dài đầu tiên thỏa mãn công thức mà chúng ta suy ra được: 16 = (# dấu chấm) - (# chuỗi dài tuyến tính) = 20 - 4. Ai thực hiện nước đi này, trong trường hợp này là người chơi B, sẽ thua nếu người chơi A chơi DD một cách thích hợp hơn.
+ + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + + | | | | | + + + + +
Người chơi A đã bắt đầu và người chơi B phải mở một chuỗi ngay bây giờ.
Tỷ số là bao nhiêu nếu ba lượt DD được chơi?
Nếu người chơi A chơi DD 3 lần thì tỉ số cuối cùng là A: B = 6: 6.
+---+---+---+---+ | A | A | A | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+ | B | B | B | A | +---+---+---+---+
Điểm từ 3 chuỗi cuối cùng là 5: 4, vì vậy chơi DD ở chuỗi đầu tiên và trả bằng 2 điểm để nhận được một điểm là không tối ưu.
Tỷ số là bao nhiêu nếu DD được chơi 2 lần?
Tốt hơn là người chơi A nên thực hiện toàn bộ chuỗi đầu tiên và đạt điểm cuối cùng là A: B = 7: 5.
+---+---+---+---+ | A | B | B | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+ | A | A | A | B | +---+---+---+---+
Giả định nào về điều suy ra sai từ Quy tắc Chuỗi dài bị vi phạm?
Cả hai giả định đều đã bị vi phạm. Người chơi A đang thắng nhưng không giành được chuỗi cuối cùng. DD không được chơi trong mọi chuỗi tuyến tính dài.
Quy tắc Chuỗi dài có còn áp dụng cho cách chơi tối ưu này không?
Chúng tôi nhận được (# dấu chấm) + (# chuỗi tuyến tính dài) = 20 + 4 = 24 là số chẵn và người chơi đầu tiên sẽ thắng theo quy tắc Dự đoán. Vì vậy, quy tắc đó tốt hơn so với bằng chứng thay thế với các giả định không cần thiết và giải thích sai.
Câu hỏi Kiểm tra
hơi tối ưu có yêu cầu chơi DD / DDD HOẶC không chơi DD / DDD không?
Câu trả lời là không, cả hai đều có thể tốt như nhau. Chỉ với hai dây chuyền dài có 3 ô, người chơi A cần chơi DD để cho điểm A: B = 4: 2.
+ + + +---+---+ | | | | A | A | + + + +---+---+ | | | → | B | A | + + + +---+---+ | | | | B | A | + + + +---+---+
Vì vậy, mục đích để chơi DD trước hai chuỗi này là 4 − 2 = 2, bằng với chi phí khi chơi DD. Do đó cả hai lượt chơi đều cho điểm như nhau: 4: (2 + 3) = 4: 5 = (2 + 2):(4 + 1)
+---+---+---+ +---+---+---+ | B | A | A | | B | B | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | = | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+ | B | B | A | | A | A | B | +---+---+---+ +---+---+---+
Câu hỏi Kiểm tra
Có thể xảy ra trong chế độ chơi tối ưu mà người chơi liên tục bắt đầu và ngừng chơi DD / DDD không?
Có. Chúng ta đã thấy ở trên cách thêm một chuỗi với 3 ô đã thay đổi tỷ số từ 4: 2 thành 4: (2 + 3) = 4: 5. Mục đích để chơi DD trước 3 chuỗi này sẽ là 5−4 = 1 <2 nên ít hơn chi phí chơi DD là 2. Do đó, với 4 chuỗi 3 ô, ô đầu tiên sẽ không chơi với DD. Nếu có một chuỗi khác có 3 ô thì điểm số sẽ trở thành (4 + 3): 5 = 7: 5 = (4 + 1) :( 5 + 2) vì vậy mục đích để chơi thứ hai trong 5 chuỗi 3 ô sẽ là 7−5 = 2 nên chơi DD sẽ ổn khi cho điểm trong cả hai trường hợp là (2 + 5) :( 1 + 7) = 7: 8 = 7: (3 + 5).
+---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | B | A | A | A | | B | B | A | B | B | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | A | B | B | B | A | = | A | B | A | A | B | = +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | A | B | B | B | A | | A | B | A | A | B | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | B | B | B | | B | A | B | A | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | A | A | B | = | B | A | B | B | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+ | B | A | A | A | B | | B | A | B | B | A | +---+---+---+---+---+ +---+---+---+---+---+
Bằng cách thêm nhiều chuỗi với 3 ô, người chơi có thể có nhiều thay đổi hơn giữa việc chơi và không chơi DD.
Quy tắc Chuỗi dài có thỏa mãn không?
Người đọc được khuyến khích kiểm tra Quy tắc Chuỗi dài với nhiều ví dụ hơn liên quan đến các vòng lặp.
Ví dụ 8: Áp dụng Quy tắc Chuỗi dài
Trên trang web của David Wilson, vị trí sau được hiển thị mà chỉ có một nước đi để người chơi tiếp theo giành chiến thắng.
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
|
+ +---+ +
Ai sẽ thắng nếu cả hai người chơi đều tuân theo quy tắc trò chơi kết thúc?
Bảng này có số chấm chẵn và số chuỗi dài chẵn. Chuỗi dài cuối cùng sẽ không chơi nước đi DD nên một số nước đi DD lẻ thường sẽ được chơi và do đó # điểm + # của DD là lẻ, và vì số lượt là lẻ nên người chơi đầu tiên sẽ nhận được chuỗi cuối cùng và thắng. Điều này phù hợp với 'Quy tắc Chuỗi dài': "Người chơi đầu tiên nên cố gắng làm cho # dấu chấm + # chuỗi dài (tuyến tính) là chẵn và người chơi thứ hai nên cố gắng làm cho nó thành lẻ."
Người chơi thứ 2 có thể làm gì?
Người chơi thứ 2 không thể thay đổi số chấm mà là số nước đi DD bằng cách hy sinh 2 ô và chơi nước đi được đánh dấu là B, đây là nước đi thắng duy nhất mà người chơi thứ 2 có trong tình huống này:
+ + + +
|
+ + +---+
+---+---+---+
| B
+ +---+ +Động tác này làm giảm số lượng chuỗi dài từ 2 xuống 1 và do đó làm cho # chấm + # chuỗi dài (tuyến tính) trở nên lẻ; do đó cho phép người chơi thứ 2 giành chiến thắng một điểm thay vì thua một điểm.
Làm thế nào trò chơi có thể tiếp tục?
Tất cả các biến thể sau đây đều dẫn đến A: B = 4: 5, do đó, thêm 1 điểm để người chơi B chiến thắng.
+ +A10+B6-+
A3 | B9 A11
+ +A5-+---+
B4 A12
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
+A3-+A5-+B6-+
A11 | A12
+B9-+ +---+
A10 B4
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
+A3-+A10+B6-+
| B9 A11
+ +B4-+---+
A5 A12
+---+---+---+
| | A2 B8
+A1-+---+A7-+
Thực hiện nước đi này vi phạm Quy tắc 1 đầu tiên là không tạo 3 ô nếu không thực sự cần thiết. Việc phá vỡ Quy tắc 1 rủi ro như thế nào?
Việc phá vỡ Quy tắc 1 này không kém phần kỳ lạ so với việc chơi DD. Như chúng ta đã tìm hiểu trước đó, chơi DD với 2 điểm để chuyển đổi vai trò là điều bình thường. Vì vậy, sự hy sinh này là tối thiểu và tốt nếu nó có tác dụng tương tự như một động thái DD.
Trong phần phía trên, các thuật ngữ kỹ thuật đã được giới thiệu và các quy tắc đã được xây dựng. Phần cuối của trò chơi được mô tả chi tiết và đối với phần đầu tiên của trò chơi, Quy tắc chuỗi dài hướng dẫn người chơi. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về phần đầu tiên của trò chơi, vui lòng xem [2] và [3] trong Tài liệu tham khảo. Cây quyết định sau đây sẽ tóm tắt trang web này.
Cây quyết định
Để các liên kết bên dưới hoạt động, người chơi cần mở văn bản ở trên bằng cách nhấp vào
- Trước khi bắt đầu trò chơi, hãy suy nghĩ xem nên chơi thứ nhất hay thứ hai. Xem điểm 3.A.a bên dưới.
- Nếu có ít nhất một 3 ô (một ô có thể hoàn thành), hãy xác định tất cả các chuỗi được gắn vào tất cả 3 ô này.
- Nếu một trong những chuỗi này là tuyến tính và có ít nhất 2 ô cạnh nhau, thì hãy hoàn thành tất cả các ô từ tất cả các chuỗi tuyến tính và tất cả các chuỗi lặp lại ngoài hai ô cạnh nhau của một chuỗi tuyến tính này. Sau đó, phân tích xem nên chơi DD và chơi DD hoặc hoàn thành 2 ô cuối cùng.
- Nếu tất cả các chuỗi đều có độ dài là 1 hoặc là vòng lặp, thì trước tiên hãy hoàn thành tất cả các chuỗi có độ dài là 1 và nếu có ít nhất một chuỗi vòng lặp thì hãy hoàn thành tất cả các chuỗi vòng lặp ngoại trừ 4 ô cuối cùng của một trong các chuỗi vòng lặp. Sau đó, phân tích xem nên chơi DDD hay hoàn thành 4 ô cuối cùng.
- Nếu không có ô nào có thể hoàn thành, thì
- Nếu mỗi lần di chuyển sẽ tạo ra một hộp 3 ô, thì
- nếu chuỗi ngắn nhất là chuỗi 2
+---+---+ +---+---+
trong đó 2 đường chưa vẽ có thể ở bất kỳ đâu nhưng không nằm trong cùng một ô, sau đó vẽ đường ở giữa để đạt được: - Khác, xác định chuỗi tiếp theo để mở và chơi ở bất kỳ đâu trong chuỗi này.
- nếu chuỗi ngắn nhất là chuỗi 2
- nếu có một nước đi không tạo ra 3 ô thì
- nếu trong trò chơi sẽ có nhiều nhất 1 chuỗi dài (tuyến tính hoặc vòng lặp), ví dụ, vì hình chữ nhật của các chấm nhỏ hoặc mỏng, thì sẽ không có nước đi DD / DDD nào được chơi và sau đó người chơi thực hiện lượt cuối cùng sẽ thắng và vì Công thức Số lượt, người chơi đầu tiên nên cố gắng làm cho tổng # của các chấm + # của các vòng lặp lẻ và người chơi thứ hai chẵn. Bởi vì # của các dấu chấm là cố định, người ta chỉ có thể cố gắng để có được 0 tương ứng 1 vòng lặp. Nếu điều đó là không thể thì hãy thay đổi người chơi trước.
- nếu rõ ràng có bao nhiêu chuỗi tuyến tính sẽ tồn tại vào cuối trò chơi và nếu Quy tắc chuỗi dài dự đoán thua trò chơi thì hãy cân nhắc thực hiện động thái hy sinh để giảm số lượng chuỗi dài, nếu không
- nếu không rõ sẽ có bao nhiêu chuỗi dài vào cuối trò chơi, thì người chơi thứ nhất cố gắng làm cho số chấm + # chuỗi dài (tuyến tính) là lẻ và khi người chơi thứ hai cố gắng làm cho tổng số chẵn.
- Nếu mỗi lần di chuyển sẽ tạo ra một hộp 3 ô, thì
Tham khảo
[1] Wikipedia: Dấu chấm và Hộp, xem các tài liệu tham khảo khác tại đó.
[2] Berlekamp, Elwyn R.; Conway, John H.; Guy, Richard K. (1982), "Chương 16: Dấu chấm và hộp", Các cách chiến thắng cho các cuộc chơi toán học của bạn, Tập 2: Trò chơi đặc biệt, Nhà xuất bản học thuật, trang 507–550.
[3] Berlekamp, Elwyn (2000), Trò chơi chấm và hộp: Trò chơi của đứa trẻ tinh vi, AK Peters, Ltd, ISBN 1-56881-129-2.
[4] Wilson, David, Kết quả phân tích Dots-and-Boxes, Đại học Wisconsin
Mục lục
Để các liên kết bên dưới hoạt động, người ta cần mở văn bản ở trên bằng cách nhấp vào
- # ...
- số lượng...
- ô
- một hình vuông nhỏ có 4 chấm cạnh nhau là các góc
- ?-ô
- ô không có cạnh, ô 1 cạnh, ô 2 cạnh, ô 3 cạnh, ô 4 cạnh là các ô có 0,1,2,3,4 cạnh được vẽ.
- chuỗi
- một chuỗi được tạo thành từ 2 hộp được kết nối. Có chuỗi tuyến tính và chuỗi lặp.
- Di chuyển chéo kép
- một nước đi hoàn thành hai ô cạnh nhau cùng một lúc ngay sau khi Giao dịch kép di chuyển trong chuỗi tuyến tính hoặc khi hoàn thành vòng lặp.
- DD
- viết tắt của Xử lý đôi
- DDD
- viết tắt của Xử lý nhân đôi
- Xử lí đôi
- một nước đi ở viền của sẽ dẫn đến Kiểu chơi Mạnh mẽ
+---+---+ | | . +---+---+
- Xử lí nhân đôi
- nước đi ở giữa vòng lặp đã mở với 4 ô còn lại, ví dụ:
+---+---+ +---+---+---+---+ | | | | | +---+---+ hoặc +---+---+---+---+ hoặc | | +---+---+ +---+---+ +---+---+---+ | | | | | +---+---+---+ hoặc +---+---+ + | | | | +---+---+ +---+ - Phần Hồi Kết
- giai đoạn cuối của trò chơi bắt đầu khi không thể tránh khỏi việc tạo hộp 3 ô trong bước tiếp theo
- Nhận dạng Euler
- quan hệ chung cho bất kỳ đồ thị nào trong mặt phẳng, không chỉ trò chơi Dots, nơi các đường không cắt nhau: (# dòng) − (# dấu chấm) + 2 = (# khuôn mặt) trong đó các khuôn mặt bao gồm 'mặt ngoài' nên đối với ta (# khuôn mặt) = (# hộp) + 1.
- Đồ thị
- một khái niệm trong toán học trong đó một số điểm được nối với nhau bằng một số đoạn thẳng
- Kiểu chơi Mạnh mẽ
- Vẽ đường giữa ở
+---+---+ +---+---+ +---+---+ hoặc | hoặc | | +---+---+ +---+ + + + +hoặc các phiên bản xoay chiều và phản chiếu của chúng dẫn đến+---+---+ +---+---+ +---+---+ | hoặc | | hoặc | | | +---+---+ +---+ + + + +hoặc các phiên bản xoay chiều và phản chiếu của chúng - Bài tập nửa vời
- vẽ một đường thẳng trên đường viền của một chuỗi với hai hộp dẫn đến
+---+---+ +---+---+ | hoặc | | +---+---+ +---+ +
- Đoạn thẳng
- đoạn thẳng liên kết hai dấu chấm cạnh nhau theo chiều ngang + --- + hoặc theo chiều dọc
- Chuỗi tuyến tính
- một chuỗi có 2 đầu, không nhất thiết phải thẳng
- Luật chuỗi dài
- Người chơi đầu tiên nên cố gắng làm cho # dấu chấm + # trong số chuỗi dài là chẵn và người chơi thứ hai nên cố gắng biến giá trị này thành lẻ.
- chuỗi dài
- 1 chuỗi có ≥ 3 ô
- Nước đi thua lỗ
- một nước đi cho đối thủ lựa chọn hy sinh
- Vòng lặp
- viết tắt của loopy chain
- Chuỗi vòng lặp
- 1 chuỗi không có đầu đuôi
- Di chuyển
- Vẽ 1 đường
- Công thức số lượt
- một công thức chính xác cho số lượt trong một trò chơi là cơ sở cho Quy tắc chuỗi dài và hữu ích cho số lượng dấu chấm thấp để quyết định có nên là người chơi đầu tiên hay không
- Mở 1 chuỗi
- thực hiện nước đi bên trong một chuỗi hoặc trên một trong các điểm đầu và cuối của nó (nếu đó là một chuỗi tuyến tính)
- Luật 1
- Cách chơi rõ ràng nhất là tránh tạo ô 3 ô mà đối phương có thể chiếm được bằng cách hoàn thành nó.
- Luật 2
- Đối với chuỗi sắp xếp thứ tự, lấy chuỗi cuối cùng là chuỗi tuyến tính lớn nhất và nếu không có chuỗi tuyến tính thì lấy chuỗi lớn nhất.
- Luật 3
- Nếu trong Phần Hồi Kết tất cả các ô có ít nhất 2 cạnh được vẽ thì hãy sắp xếp chúng theo (# ô) − 2 (nếu là một vòng lặp)để sắp xếp tất cả các chuỗi khác.
- Luật 4
- Để thiết lập một chuỗi các chuỗi được sắp xếp theo giá trị cho người chơi tiếp theo, giá trị thấp nhất trước tiên, hãy thực hiện một chuỗi các nước đi (xem văn bản) cho đến khi hoàn thành toàn bộ bảng.
- Luật 5
- ử dụng mã giả được cung cấp (xem văn bản) để quyết định có chơi DD / DDD hay không.
- Luật 6
- Đề cập đến Quy tắc chuỗi dài
- Nắm quyền kiểm soát
- giống như chơi DD / DDD, như một tác dụng phụ quan trọng, cung cấp tùy chọn lặp lại chơi DD / DDD trong các chuỗi tiếp theo.
- Lượt
- một chuỗi các bước di chuyển liên tiếp của một người chơi
Theo dõi cập nhật sắp tới