İşıqlar©
Əgər siz yalnız İşıqlar müsabiqə suallarının həlli ilə maraqlanırsınızsa, onda aşağıdakı oyunu oynamaq üçün ipuclarını irəli atın.
Başlamamışdan əvvəl bəzi riyaziyyat terminlərini təqdim edək.
Riyaziyyat dili
Biz bu fürsətdən istifadə edərək riyaziyyat formalizmini tətbiq edirik və bəyanatları qruplaşdırırıq
- Hipotez (növbəti araşdırma üçün başlanğıc nöqtəsi kimi təklif olunan bəyanat)
- Tərif (söz və ya ifadənin mənasının izahı)
- Teorem (ətraflı ifadə)
- Lemma (kiçik ifadə)
- İsbat (teoremin və ya lemmanın düzgün olduğunu heç bir şübhə doğurmadan göstərən ifadələr.) □ simvolu isbatın sonunu göstərəcək.)
- Nəticə (birbaşa teorem və ya lemmadan sonra gələn ifadə)
Bir mövzunu araşdırmağın ən yaxşı yollarınnan biri özünüzə sadə suallar vermək və cavab verməyə çalışmaqdır. Biz indi bunu edəcəyik. Bu səhifəyə araşdırma aparmaq üçün bölmə kimi baxa bilərsiniz. (Xüsusilə də simmetriyaları araşdıran bölmə) . Yol boyu oyunu necə oynayacağımıza dair işarələr tapacağıq.
Kliklərin hansı ardıcıllıqla edildiyinin əhəmiyyəti varmı?
Xeyr. İşığın statusu kliklərin ardıcıllığından deyil, yalnız işığın özündə və qonşu işıqlarda edilən kliklərin sayından asılıdır. İşığa və onun qonşularına edilən kliklərin ümumi sayı cütdürsə, o zaman işıq öz statusunu dəyişmir. Əgər bu say təkdirsə, kliklərin sırasından asılı olmayaraq status dəyişir.
Nümunə:İki fərqli qonşu işığı seçin, məsələn, A və B. Sonra onları A, B, B, A sırası ilə klikləyin. Nəticə nədir? ↠ Heç nə dəyişməyib, çünki B, B heç bir təsiri yoxdur və A, A da heç bir təsiri yoxdur.
İndi gəlin ilk iki kliklərin sırasını tərsinə çevirək və onları B, A, B, A ardıcıllığında klikləyək. Nəticə nədir? ↠ Yenə heç nə dəyişməyib. İlk iki klik sırasının əhəmiyyəti yox idi. Hər iki düyməni hər hansı bir ardıcıllıqla iki dəfə sıxsaq, eyni vəziyyət yaranır. Kliklərin sırası vacib deyil.
Əgər kliklərin sırası vacib deyilsə, uzun ardıcıllığın kliklərinin sayını necə azaltmaq olar?
Kliklərin sayını azaltmağın bir yolu aşağıdakı kimidir.
Tapmacanı həll edərkən, hər bir işıq üçün bu işıq üzərində edilən kliklərin sayını qeyd edir. Bundan sonra, bir işıqda hər cüt klik sayını sıfıra və hər tək klik sayını 1-ə təyin edir. Yeni ardıcıllıq eyni effektə malikdir və eyni zamanda həll yoludur.
Tərif:Hər bir işığın ən çox bir dəfə kliklənməyinə kliklərin ardıcıllığının azalması deyilir. Yuxarıda göstərilən proses azalma adlanır.
azaldılmış klik ardıcıllığının uzunluğu üçün yuxarı hədd nədir?
- Bir ardıcıllığın yalnız işıqların olduğu qədər klik sayı ola bilər, çünki azaldılmış ardıcıllıqda hər işıq ən çox bir dəfə kliklənə bilər. Beləliklə, əgər lövhənin h hündürlüyü və w eni varsa, onda onun h×w işıqları var və azaldılmış ardıcıllığın ən çox h×w klik sayı ola bilər.
Hərəkətlərin sırası əhəmiyyət kəsb etmirsə, həll yolu, yəni bütün işıqları yandıran kliklər ardıcıllığı üçün tam axtarışı (kobud güc axtarışı) necə həyata keçirmək olar?
Kliklərin sırası əhəmiyyət kəsb etmədiyindən, hər bir işıq üçün onun bir həlldə klik edilib-edilmədiyini bilmək kifayətdir. Buna görə də, bütün işıqların tam bir kobud güc axtarışı üçün bütün kombinasiyalarını klikləməyə cəhd etmək kifayətdir.
Əgər lövhədə h×w işıqları varsa, onda onların 2h×w kombinasiyaları var (hər işığın 2 variantının həmin kombinasiyada kliklənib-kliklənməməsi). Bu cür kobud güc axtarışı çox uzun çəkəcəkdi. Bununla belə, əgər “Yardım Qeydləri” aktivdirsə (müsabiqələrdə mövcud deyil), o zaman sadəcə olaraq bütün işıqları bir-bir klikləyərək bu klikləməyin sizi həll yoluna yaxınlaşdırıb-yaxınlamadığını yoxlaya bilərsiniz. Əgər belədirsə, oradan çıxın, əks halda yenidən klikləyin.
Aşağıdakı suallar kliklərin ardıcıllığını daha da qısaltmağa kömək edəcək.
Əgər bütün işıqlar YANIBsa və hər işıq bircə dəfə kliklənərsə, nəticə nə olar?
-
Lemma:
Əgər düzbucaqlı bir şəbəkədə bütün işıqlar yanılıdrsa və hər bir işıq bir dəfə kliklənirsə, bundan sonra küncdəki işıqlar SÖNÜLÜDÜR(O), kənarlardakı bütün digər işıqlar isə YANILIDIR(#) və 4 x 4 olan lövhədə göstərildiyi kimi qalan bütün işıqlar bu şəkildə SÖNÜLÜDÜR (O) :
# # # # O # # O
# # # # # O O #
# # # # # O O #
# # # # O # # O
before after
İsbat:
Başlamaq üçün, hər bir işığın özü kliklənir və buna görə də bir dəfə dəyişdirilir. Hər bir işıq qonşusuna kliklədikdə də dəyişir.
Buna görə də, əgər qonşu işıqların sayı cütdürsə, o zaman işıq əlavə hər hansı cüt ədəd dəfə, yəni cəmi tək ədəd dəfə dəyişdiriləcəkdir. Buna görə də, əgər o, ilkin olaraq YANILI idisə, sonra SÖNÜLÜ olacaq.
Eynilə, əgər qonşu işıqların sayı təkdirsə, o zaman işıq əlavə hər hansı bir tək ədəd sayda, yəni cəmi cüt ədəd dəfə dəyişdiriləcək. Buna görə də, ilkin olaraq YANILI idisə, yenə də YANILI olacaq.
Hər bir işığın qonşularının sayını saymaqla lemmanın ifadəsini alırırıq. □
Ardıcıllığın başlanğıcında və sonunda bütün işıqların YANILI olduğu yerlərdə kliklərin azaldılmış ardıcıllığı varmı? Biz belə ardıcıllığı dövrü adlandıracağıq.
- bütün işıqların YANILI olması ilə başla
- Hər ikisi eyni işıqları söndürən iki müxtəlif azaldılmış ardıcıllıq yarat. Məsələn, bütün işıqları söndür.
- hər iki ardıcıllığı bir ardıcıllıqla birləşdirin ki, bütün işıqlar YANILI olaraq ilə başlanılsa, bütün işıqlar YANILI olduqda bitsin.
- dövrü əldə etmək üçün həmin birləşmiş ardıcıllığı azaldın. Bu azaldılmış dövr klikləri ehtiva edir, çünki hər iki birləşdirilmiş ardıcıllıq fərqlilir, ona görə də bir ardıcıllıqla digər orijinal ardıcıllıqda olmayan ən azı bir klik vardır. Bu klik isə azaldılmış birləşdirilmiş ardıcıllıqda olacaq.
Əgər hər bir işığa bərabər sayda klikləsəniz, azalma (əvvəllər izah edildi) hər bir işıq üçün sıfır klik verəcək və bütün işıqların YANILI qalması heç də təəcüblü olmayacaq. Bəs bütün işıqlar YANILI olduqda başlayan və bitən kliklərlə azaldılmış ardıcıllıq varmı?
Tərif:Bütün işıqlar bu ardıcıllığa qədər və sonra eyni statusa malikdirlərsə, ən azı bir klik daxil olan azaldılmış ardıcıllıq dövr adlanır.
Biz bütün işıqların YANILI olması ilə başlayıb və SÖNÜLÜ olması ilə bitən dövrlər axtaracağıq. Bu zaman belə bir dövr digər hər bir ilkin vəziyyəti də dəyişməz qoyacaq, yəni biz lövhədəki bəzi işıqların YANILI, bəzilərinin isə SÖNÜLÜ olması ilə başlasaq, bu dövrü həyata keçirəcəyik, və həmin o işıqlar YANILI və SÖNÜLÜ olacaq. Bunun səbəbini görə bilərsinizmi?
Dövr tapmaq üçün bir mümkün hal var
Hansı ölçüdə olan lövhələr üçün bu mümkündür? Müəyyən bir lövhə ölçüsü üçün xətti cəbri tənliklər sistemini formalaşdırmaq və tədqiq etməklə bu suala cavab vermək olar. Bu barədə daha çox aşağıda verilmiş istinadlarda oxuya bilərsiniz.
4×4 lövhə üçün dövrü necə tapa bilərik?
-
Gəlin bütün işıqlar YANILI (#) başlayaq və hər işığı bir dəfə klikləyək. Bilirik, biz
O # # O
# O O #
# O O #
O # # O
alırıq, çünki biz dövr axtarırıq, yəni bütün işıqlar YANILI olmaqla başlayıb elə də bitən, biz SÖNÜLÜ (O kimi göstərilir) bütün işıqları bir dəfə klikləməyə çalışırıq və bu, nəinki onları yandırır, həm də bütün digər işıqları YANILI qoyur. Zəhmət olmasa özünüz yoxlayın.
Özümüzə xatırlatmaq üçün: Əvvəlcə bütün işıqları kliklədik və sonra hər iki diaqonaldakı işıqları yenidən kliklədik. Beləliklə, biz diaqonallardakı işıqları iki dəfə kliklədik. Bütün bu ardıcıllığı azaltmaqla, diaqonalda olan işıqlara iki dəfə kliklənəcək və yalnız yuxarıdakı lövhədəki # işıqlara kliklər qalacaq. Beləliklə, biz bütün işıqları YANILI başladıq və bütün işıqları YANILI da bitirdik. Beləliklə, yuxarıdakı lövhədə # üzərinə edilən 8 klik bir dövr təşkil edir! URAA, biz dövrü tapdıq! 🥳
Zəhmət olmasa bunu sınayın və özünüzü inandırın ki, yuxarıda # işarələnmiş 8 işığın üzərinə 4 & 4 dəfə klikləməklə lövhənin işıqları dəyişmir. Bu, bütün işıqlar YANILI vəziyyətdə başladıqda daha asan görünür.
Kliklərin ardıcıllığını daha da qısaltmaq üçün bir dövrdən necə istifadə etmək olar?
Əgər bir dövr məlumdursa, onda bu, daha çox kliklərin ardıcıllığını qısaltmaq üçün istifadə oluna bilər.
Lemma:Əgər c çox klikli dövr məlumdursa və n kliklərin dövrə aid olduğu ardıcıllıq verilirsə, bu n klikləri aşağıdakı ilə əvəz edin. Dövrdə olmayan c−n kliklər ekvivalent ardıcıllıq verir.
İsbat:Bu isbat konstruktivdir, yəni bu cür ardıcıllığı necə düzəltmək lazım olduğunu göstərir.
Əgər ardıcıllığı dövrə əlavə etsək, onda yeni birləşmiş ardıcıllıq ekvivalent olacaq, çünki biz dövr əlavə etmişik. Birləşdirilmiş ardıcıllıqla n kliklər iki dəfə yerinə yetirilir, bir dəfə orijinal ardıcıllıqla və bir dəfə dövrdə. Azaltmaqla, yəni bu ikiqat klikləri silməklə, yeni ardıcıllıq hələ də ekvivalent olacaq (çünki azalma ekvivalent ardıcıllıq yaradır) və indi n klik əvəzinə, c− dövrəyə aid n kliklər. □
Nəticə:Əgər c−n < n olarsa, onda yeni ardıcıllıq daha qısadır. Bu, yalnız və yalnız n > c/2 olduqda baş verir. Sözlə: Əgər ardıcıllıq dövrün kliklərinin yarısından çoxunu ehtiva edirsə, dövr əlavə etməklə və ikiqat klikləri silməklə ardıcıllığı qısaltmaq olar.
Nümunə:4 x 4 lövhədə (kağız üzərində qələmlə) 13 işığın siyahısını hazırlayın, bütün işıqlar YANILI vəziyyətdə, başlayın və 13 işığa klikləyin və nəticənin şəklini çəkin. (Niyə 12 yox, 13 ? Aşağıda daha ətraflı baxacağıq. :-) ) İndi 13 klikdən hansının dövrə aid olduğunu yoxlayın və kliklərin yeni siyahısını (kağız üzərində qələmlə) yaradın, burada bu dövr klikləri dövrədəki digər kliklərlə əvəz olunur. Bütün işıqlar YANILI vəziyyətdə yenidən başlayın və bu daha qısa klik ardıcıllığını yerinə yetirin.
Bunun nəticəsi nə olacaq?
Bu qısa ardıcıllığın nəticəsi əvvəlki kimi olmalıdır.
4×4 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının uzunluğu üçün yuxarı hədd nədir?
-
Teorem:
4 x 4 ölçüdə lövhədə kliklərin ardıcıllığı maksimum 12 klikə endirilə bilər.
İsbat:4 x 4 ölçüdə lövhədə azaldılmış ardıcıllığın yalnız 4 x 4=16 kliki ola biləcəyini öyrəndik. Biz 4 x 4 lövhə üçün 8 klik dövrünü bilirik. Buna görə də, ardıcıllıqla dövrə aid olmayan ən çox 16−8=8 klik ola bilər. Biz həmçinin müəyyən etdik ki, əgər ardıcıllıqda dövrün kliklərinin yarısından çoxu varsa, onu qısaltmaq olar. Buna görə də, azaldılmış və qısaldılmış ardıcıllıq ən çox :
8 (dövrəyə
aid olmayan klik)
4 x 4 lövhəsində □
+ 8/2 (dövrdən kliklərin yarısı)
= 12 klik
ola bilər.
Bütün işıqları yandırmaq üçün bütün mümkün 4 x 4 lövhə problemləri ən çox 12 kliklə həll edilə bilər.
Açıqlama:Teorem, dövrlərlə qısaldılması mümkün olmayan 12 uzunluğunda bir ardıcıllığın olub-olmadığını demir. Ola bilsin ki, maksimal uzunluq 12, 10 və ya 8-dir. Teorem yalnız onun 12 klikdən çox ola bilməyəcəyini deyir.
Yuxarıdakı nəticələrdən sonra, bütün işıqları yandırmaq üçün ən çox klik tələb edən 4 x 4 ölçüdə olan problemə hansı nümunə ola bilər?
Biz dövrdə olmayan bütün işıqlara klikləyirik, buna görə də bütün 8 işıq diaqonalda yanır. Sonra dövrdən 4 işıq seçirik, məsələn, hər tərəfdən bir saat istiqamətində. Bir klik göstərən © ilə biz
© · © ©
© © © ·
· © © ©
© © · ©
lövhədə nəticələnən bu 12 kliki etdik:
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
Bu 12 kliklik ardıcıllıq indi qısaldılmayan maksimum uzunluqdadır?
Xeyr. Artıq bu 4 klik
· © · ·
© · · ·
· · · ©
· · © · eyni nəticəyə malikdir:
# O O #
O # # O
O # # O
# O O #
O nə deməkdir?
Bu o deməkdir ki, 12+4=16 klikdən ibarət yeni dövrümüz var, URAA! 🥳 Əgər ikiqat klikləri buraxsaq (© + © = ·), bu yeni 12 kliklik dövr qalır:
© · © © · © · · © © © ©
© © © · + © · · · = · © © ·
· © © © · · · © · © © ·
© © · © · · © · © © © ©
Zəhmət olmasa, bunun dövr olduğunu yoxlayın.
12-klik dövrü və 8-klik dövrü əlavə edib bunu qısaltdıqda nə çıxır?
İki dövrün cəmi bir dövr olmalıdır, yəni lövhəni dəyişməməlidir:
© © © © · © © · © · · ©
· © © · + © · · © = © © © ©
· © © · © · · © © © © ©
© © © © · © © · © · · ©
bu bizim yeni 3-cü dövrümüz olan 12-klik dövrün 90° dönən versiyasını verir. Zəhmət olmasa, bunun da dövr olduğunu yoxlayın.
4 x 4 lövhədə kliklərin ardıcıllığının maksimal uzunluğu üçün bu nə deməkdir?
© · © © · · © ·
© · · · and © © © ·
· · · © · © © ©
© © · © · © · ·
ardıcıllığının hər birinin 8 kliki var.
3 dövr ilə onları qısaltmaq olarmı?
Hər biri 8 klikli dövr ilə tam olaraq 4 kliklə üst-üstə düşür və hər 12 kliklik dövr ilə tam olaraq 6 kliklə üst-üstə düşür. Zəhmət olmasa bu 6 ifadəni yoxlayın. Onlar hər dövrə ilə dövrün kliklərinin yarısından çoxu ilə üst-üstə düşmür. Beləliklə, bu ardıcıllıqları bu 3 dövrlə qısaltmaq olmaz, lakin onlara yalnız bir klik əlavə etmək onları qısaltmağa imkan verəcəkdir.
Biz onu (küfrü, az bir-birə) bəyan etdik.
Hipotez:4×4 ölçüdə lövhə üzərində dövr ilə qısaldılmış ola bilməyən kliklərin ardıcıllığının maksimal uzunluğu 8-dir.
Siz bunu sübut etməyə razısınız. İlk növbədə göstərmək lazımdır ki, başqa müstəqil dövralar yoxdur.
Aşağıda 5×5 ölçüdə lövhəyə baxacağıq və daha çox simmetriyaları araşdıracağıq.
Bəs 5×5 lövhə necə? Bu lövhəyə dövr tapmaq olarmı?
- biz bütün işıqlar YANILI vəəziyyətdə başlayırıq
- hər işığa bir dəfə klikləyin
O # # # O # O O O # # O O O # # O O O # O # # # O - və diaqonallardakı bütün işıqlara, həmçinin mərkəzdəki işığa bir dəfə klikləyin. Nəticə odur ki, bütün işıqlar yanır.
- diaqonalların üzərində bütün ikiqat klikləri ataraq ardıcıllığı azaldın. 25−9=16 kliklərində göstərildiyi kimi ©:
· © © © · © · © · © © © · © © (1) © · © · © · © © © · - və qeyd edin, biz bir dövrü tapdıq, URAA! 🥳
4 x 4 lövhəyə bənzər olaraq,
Zəhmət olmasa, sınayın və özünüzü inandırın ki, yuxarıda işarələnmiş © 16 işığın üzərinə klikləmək 5×5 lövhənin işığını dəyişmir. Bu, bütün işıqlar YANILI vəziyyətdə işə başlayanda ən asan görünür.
5x5 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının uzunluğu üçün yuxarı hədd nədir?
-
Teorem:
5×5 lövhədə bir sıra kliklərin sayı 17-dən çox ola bilməz.
İsbat:Öyrəndik ki, 5×5 lövhədə azalmış ardıcıllığın yalnız 5×5=25 kliki ola bilər. 5×5 öçüdə olan lövhə üçün 16 kliklik bir dövr bilirik. Buna görə də ardıcıllığın ən çox 25−16=9 kliki ola bilər ki, bu da dövrə aid deyil.Biz həmçinin müəyyən etdik ki, əgər ardıcıllıqda dövrün kliklərinin yarısından çoxu varsa, onu qısaltmaq olar. Beləliklə, azaldılmış və qısaldılmış ardıcıllığın ən çox:
9 (dövrə aid olmayan kliklər)
5x5 lövhədə. □
+ 16/2 (bir dövrün kliklərinin yarısı)
= 17 kliki
ola bilər.
Bütün işıqları yandırmaq üçün 5 x 5 olan lövhə probleminin həlli varsa, onda ən çox 17 klik ilə həll var.
Açıqlama:Bu, qısaldılması mümkün olmayan 17 klik ardıcıllığının olması deməkdirmi?
Cavab:Xeyr. Hələlik bilmirik.
Bu oyunda simmetriya hansı rolu oynayır?
Lövhə düzbucaqlı formada olduğundan, YANILI/SÖNÜLÜ olan işıqların nümunəsi 90° və ya 180° fırlanma simmetriyasına,yaxud üfüqi və ya şaquli simmetriya xətti boyunca güzgü simmetriyasına malik ola bilər. Lövhə kvadratdırsa, diaqonal və ya hətta hər iki diaqonal boyunca güzgü simmetriyasına da malik ola bilər.
Aşağıdakı fikrə görə, həll bir sıra kliklərdən ibarətdir ki, bu da həmin simmetriyaya və həmin simmetriyaya malik olmayan digər kliklərə malik olur.
İnkişaf etmək üçün nə edə bilərik?
Bizə ilham lazımdır və biz onu oyun oynamaqdan və qəribə görünən və ya gözəl simmetriyaya malik lövhə əldə edənə qədər təsadüfi işıqları klikləməklə əldə edirik. Və sonra kliklərin ardıcıllığının da xüsusi olub-olmadığını düşünürük.
Biz belə bir lövhəyə rast gələ bilərik:
O O O O O
# O # O #
O O # O O (2)
# O # O #
O O O O O
və ona necə çatdığımızı unutmuş ola bilərik. Bunu asanlıqla 'Yardım Qeydlərini YANDIR' seçib hər bir vəzifəni klikləməklə öyrənmək olar. 'Yardım Qeydləri: Ən çox XX kliklə qazana bilərsiniz' şəklində göstərilən nömrə aşağı endirildisə, mövqeyi qeyd edirik. Əgər yoxdursa, yenə klik edirik. Bir klikə işarə edən bu © həlli tapırıq:
· · · · ·
© © © © ©
· · © · · (3)
· © · © ·
© · © · ©
İndi biz həqiqətən də təəccüblənməli və çox maraqlanmalıyıq!
Nəyə görə?
Çünki (2)-ci lövhədə simmetriya xətti kimi orta horizontal xətti olan güzgü simmetriyası olsa da, həlldə bu simmetriya yoxdur. Çox nadir hallarda riyaziyyatda simmetrik problemin qeyri-simmetrik həlli olur.
İndi nə oldu?
Bunu (3)-ün simmetrik hissəsini və qeyri-simmetrik hissəsini çıxararaq araşdırmalıyıq.
Buna görə də (3)-ü simmetrik və qeyri-simmetrik hissənin cəmi kimi yazırıq:
· · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · ©
· · © · · = · · © · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · · · · · ·
© · © · © · · · · · © · © · ©
Xəzinə ovçuları daş-qaş axtardığı kimi, biz də riyaziyyatda unikal obyektlər axtarırıq. Yuxarıdakı parçalanma unikal deyil. Qeyri-simmetrik hissəni simmetrik və digər qeyri-simmetrik hissənin cəmi kimi yazmaq üçün bir çox üsullar mövcuddur.
Unikal bölünmə varmı?
Simmetrik olmayan kliklərin simmetriya xəttinin yalnız bir tərəfində olmasını tələb etməklə onu unikal edə bilərik.
Biz © +© = · istifadə edirik və buna görə də indi yazın
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
© © © © © · © · © · © · © · © · · · · ·
· · © · · = · · © · · + · · · · · + · · · · ·
· © · © · · © · © · © · © · © © · © · ©
© · © · © · · · · · · · · · · © · © · ©
· · · · · · · · · ·
© © © © © · · · · ·
= · · © · · + · · · · ·
© © © © © © · © · ©
· · · · · © · © · ©
Bir şeyin üzərində olduğumuzu bilərək, indi bu barədə hər şeyi bilmək istəyirik.
İlkin lövhənin simmetrik olduğuna, və simmetrik hissənin simmetrik lövhə düzəltməli olduğuna görə, qeyri-simmetrik ardıcıllıq da simmetrik lövhə düzəltməlidir.
Bu nədir?
· · · · · O O O O O
· · · · · O O O O O
· · · · · (4) generates the board # O # O # (5)
© · © · © O O O O O
© · © · © O O O O O
Zəhmət olmasa yoxlayın!
Biz görəcəyik ki, simmetrik lövhə yaradan və simmetriya xəttinin bir tərəfində bütün kliklərə malik olan qeyri-simmetrik həllər çox azdır.
Bəs əgər biri lövhənin (5) ətrafında gəzərək ona və digər tərəfdən həll (4) baxarsa, onda necə?
Lövhə eyni görünür (çünki onun 180° simmetriyası var), lakin həll belə olur
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (6)
· · · · ·
· · · · ·
Beləliklə (6) eyni simmetrik (5) lövhəsini əmələ gətirən digər qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır . Bu, yanlışdır, yoxsa ümumiyyətlə belədir?
Bu ümumi bəyanatdır:
Əgər simmetrik bir problem (burada (5), 180° simmetriyaya malik olan) qeyri-simmetrik ardıcıllıqla yaranırsa, (burada (4)) , bu ardıcıllıqla simmetriya əməliyyatını yerinə yetirməklə, (burada 180° fırlanma) eyni lövhəni yaradan yeni qeyri-simmetrik ardıcıllıq(burada (6)) yaranır. (burada (5)).
Hər iki qeyri-simmetrik ardıcıllığı icra etdikdə nə baş verir?
Birinci (4) ardıcıllığından sonra ((5) lövhədə) üç işıq Söndürülür və ikinci ardıcıllıqdan sonra 3 işıq yenidən yandırılır, indi YANILIdır. Bu o deməkdir ki, (4) + (6)
© · © · ©
© · © · ©
· · · · · (7)
© · © · ©
© · © · ©
12 klikli dövrdür! XEYR!! 🥳 Xahiş edirik, 12 klik etməklə bunu yoxlayın.
Bu yeni dövrdən nə üçün istifadə etmək olar?
Digər 16 klikli dövr kimi, bu kliklərin ardıcıllığını qısaltmaq üçün istifadə edilə bilər.
16 klikli dövrü 12 klikli dövr ilə qısaltmaq olarmı? Nəticə bir dövr olmalıdır, çünki dövr + dövr = dövr.
Hər iki dövrün yerinə yetirilməsi ( © + © = · ) səbəbiylə bir dövr olmalıdır
· © © © · © · © · © © © · © ©
© · © · © © · © · © · · · · ·
© © · © © + · · · · · = © © · © © (8)
© · © · © © · © · © · · · · ·
· © © © · © · © · © © © · © ©
verir və bəli, o, sadəcə olaraq 90° fırlanan (7) dövrdür.
16-klik dövrü də simmetrik problemin iki qeyri-simmetrik həllinin cəmidirmi?
16 klikli dövrün cəm kimi yazmağın 2 yolu var:
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · · · · © · ©
© © · © © = © © · · · + · · · © © (9)
© · © · © © · © · · · · · · ©
· © © © · · © © © · · · · · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
© · © · © © · · · © · · © · ·
© © · © © = © © · © © + · · · · · (10)
© · © · © © · · · © · · © · ·
· © © © · · · · · · · © © © ·
(9)-un sağ tərəfində yerləşən iki ardıcıllığın hər biri simmetrik lövhənin nəticəsi olan qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır
# O O O O
O O O O O
O O O O O (11)
O O O O O
O O O O #
(10)-un sağ tərəfindəki iki ardıcıllığın hər biri simmetrik lövhə ilə nəticələnən qeyri-simmetrik ardıcıllıqdır.
# O O O #
O O O O O
O O O O O (12)
O O O O O
# O O O #
Beləliklə, 16 klikli dövr simmetrik məsələnin iki qeyri-simmetrik həllinin cəmidir, hətta iki şəkildə.
Əgər yadda saxlamaq üçün ardıcıllıqların sayını minimuma endirmək istəyirsinizsə, onda
· · · · ·
© · · · ·
© © · · · (13)
© · © · ·
· © © © ·
yadda saxlamaq kifayətdir, çünki (9)-un sağındakı digər ardıcıllıq eyni təsirə malikdir və (10)-un sağındakı ardıcıllıqlar (13) və (13)-ün 90°; fırlanmasının cəmidir.
Bu, simmetrik lövhələrin həllinə necə kömək edir?
Doğrudursa, 5 x 5 lövhə üçün ardıcıllıqlar (4), (13) və onların 90° fırlanmaları güzgü simmetrik lövhələrini yaradan yeganə qeyri-simmetrik ardıcıllıqlardır (digər qeyri-simmetrik ardıcıllıqlar verən simmetrik kliklərdən başqa), sonra güzgü simmetrik lövhəni həll etmək üçün yalnız bütün işıqlar yanana qədər və ya biri yanana qədər simmetrik hərəkətlər etmək lazımdır, lövhələrdən (5) və ya (11) çatdı (və ya onların 90° fırlanması) və sonra biri sadəcə ardıcıllığı (4) və ya (13) (və ya onların 90° fırlanması) yerinə yetirir.
Başqa sözlə, güzgü simmetrik 5x5 lövhəsini həll etmək üçün yalnız bir nəfər daha az belə simmetrik klik tələb edən və bununla da daha kiçik axtarış ağacı ilə nəticələnən kliklərin simmetrik kombinasiyalarını sınaqdan keçirmək lazımdır.
5×5 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının maksimal uzunluğu nə qədər olur?
Biz bu suala cavab vermirik, lakin bizim sizin üçün iki təklifimiz var.
Hipotez:12, 12 və 16 kliklərlə 3 dövrün birləşməsi olmayan 5×5 lövhə üçün başqa dövrlər mövcud deyildir.
Hipotez:5×5 lövhədə qısaldılmış klik ardıcıllığının maksimal uzunluğu 13-dür.
Başqa bir müstəqil dövr şəklində və ya 13-dən çox kliklə ardıcıllıqla bir sübut və ya əks nümunə haqqında düşünməyi sizə buraxırıq ki, 3 dövr (7), (8) və (1) 12, 12 və 16 klik. Birinci fərziyyə xətti cəbrdən istifadə etməklə yoxlanıla bilər (aşağıya baxın), lakin sadə bir sübut və ya fərqli bir dövrə malik olmaq yaxşı olardı. 3 dövrə ilə azaldıla bilməyən 13 klikli ardıcıllığa misaldır
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
· © · © ·
© · © · ©
Axtarış və sübutlarda əylənin!
Lövhədəki YANILI/SÖNÜLÜ işıqların bütün nümunələrinə çatmaq mümkündürmü?
H×w dəfə işıqlar üçün ilə 2h×w ədəd YANILI/SÖNÜLÜ işıqlar ardıcıllığı mövcuddur. Daha əvvəl də bildiyimiz kimi, kliklərin 2h×w mümkün ardıcıllığı da var.
Ancaq eyni lövhə nümunəsi ilə nəticələnən elə ardıcıllıqlar var, yəni hər hansı bir ardıcıllıq və bu ardıcıllıq + dövr. Buna görə də əlçatan lövhə nümunəsindən daha çox ardıcıllığa sahibik, buna görə də əldə edilə bilməyən lövhə nümunəsi mövcud olmalıdır.
Riyaziyyatda belə hallar üçün sözlər var. Əgər hər bir klik ardıcıllığı fərqli nümunə ilə nəticələnsə, onda bu ardıcıllıq xəritəsi inyektiv adlanacaq. Əgər hər bir ardıcıllıq bəzi klik ardıcıllığının nəticəsi olsaydı, onda bu növ ardıcıllıq xəritəsi suryektiv adlanardı. Buna görə də kliklərin ardıcıllığı xəritəsi qeyri-inyektiv və qeyri-suryektivdir.
Oyunu düzgün oynaya bilmək üçün ipucları
Hazırlıq təcrübəsi
Yarışmada oyunu oynamağa hazırlaşmaq üçün bütün işıqların yanılı olduğu lövhədən başlamaq faydalıdır. Bu lövhəni əldə etmək üçün "İlkin Kliklər" və "Bənövşəyi İşıqlar"ın sayını 0-a endirmək və lövhənin ölçüsünü artırmaq lazımdır. Sonra birbaşa qonşulara və ya diaqonal qonşulara 2 klik edin və nəticədə yaranan nümunəni yadda saxlayın ki, onlar oyuna gələndə onları tanıyasınız. Bu cür cəhdləri küncdə, kənarda və ortada edin, çünki ardıcıllıq da işığın harada yerləşməsinnən asılıdır.
Fərqli bir təcrübə növü, bütün işıqları yanılı olan 5 x 5 lövhə götürmək və diaqonal və ya orta xəttə görə simmetrik olan və ya 90° və ya 180° simmetriyasına malik olan işıqlara klikləməkdir; bir-birinin fırlanan versiyalarına baxın və hansı simmetrik ardıcıllığı əldə edə bildiyinizə diqqət yetirin.
Yaxınlıqda sönən kiçik bir işıq qrupu varsa, əvvəlcə nəyi sınamaq lazımdır?
Bu halda ilk növbədə belə kiçik qrupların mərkəzində hərəkət etmək lazımdır, çünki belə qrupların kənarındakı kliklər yalnız daha uzaqlarda daha çox işığı SÖNDÜRür , bu halda sönülü işıqlardan ibarət qrupların sayı artır. Əgər uğursuz olarsa, daha çox işıqlara daha uzaqda klikləməli və sonunda bütün lövhədə edilən klikləri dayandırmalı olacaqsınız.
Əgər lövhədə simmetriya varsa, onda necə edək?
İlkin lövhə bir və ya hər iki diaqonala və ya simmetriyanın üfüqi və/yaxud şaquli xəttinə görə güzgü simmetriyasına malik ola bilər. Digər simmetriyalar 90° və ya 180° fırlanma simmetriyasına malik ola bilər. Bu bölmədə simmetriya hansı rolu oynayır? bölməsində biz aşağıdakı strategiyanı əldə etdik.
Simmetriyanı saxlıyan simmetrik kliklər qruplarını bütün işıqlar yanana qədər və ya 5x5 ölçülü lövhəyə malik olduqda bu lövhələrdən birinə çatana qədər yerinə yetirin:
O O O O O # O O O O # O O O #
O O O O O O O O O O O O O O O
# O # O # (5) or O O O O O (11) or O O O O O (12)
O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O # # O O O #
(və ya onların 90° fırlanması) və sonra sadəcə ardıcıllığı :
· · · · · · · · · · · © © © ·
· · · · · © · · · · © · © · ©
· · · · · (4) resp © © · · · (13) resp © © · © © (1)
© · © · © © · © · · © · © · ©
© · © · © · © © © · · © © © ·
(müvafiq olaraq onların 90° fırlanması).
'Simmetrik oynamaq' nə deməkdir?
Əgər simmetriya xəttində hər hansı bir işıq sönülüdürsə, onda elə bu işığa klikləmək lazımdır. Səbəb: Əgər ona yox, yalnız qonşu işığa klikləsəniz, onda simmetriya xəttinə qonşu olan digər işıq da kliklənməlidir və bu zaman simmetriya xəttində olan işığn vəziyyəti iki dəfə dəyişiləcək, buna görə də bu işıq SÖNÜLÜ qalacaq.
Eyni səbəbdən, əgər bu diaqonalda hər hansı bir işıq YANILI olarsa, onda bu işıq kliklənməməlidir.
Əgər mövqe iki simmetriya xəttinə (2 diaqonal və ya üfüqi və şaquli orta xətt) münasibətdə simmetrikdirsə, onda yuxarıdakı qaydalar hər iki xəttə aiddir. Bu xətlərin sönülü olan işıqlarının hər birinə klikləmək lazımdır və bu diaqonallar üzərində yanılı olan işıqların heç birinə klikləmək lazım deyil ki, bütün işıqlar yanılı olsun və həll simmetrik olsun olsun.
Lövhə güzgü simmetriyasına yox, fırlanma simmetriyasına malikdirsə, bu simmetriyanı qorumaq üçün eyni fırlanma simmetriyasına malik kliklər edilməlidir.
Simmetriya necə olursa olsun, bir işığa kliklədikdə bu simmetriya ilə əlaqəli işıq(lar)a da klikləyin. Başqa sözlə, əgər 90° simmetriyadırsa (4-qat dönmə simmetriyası) onda digər 3 işığa da klikləyin, əgər 180° simmetriyadırsa (2-qat fırlanan simmetriya) onda digər bir işığa da klikləyin. Əgər güzgü simmetriyasıdırsa, onda güzgü simmetriyasına malik olan işığa da klikləyin. Əgər işıq öz simmetriyasına malik işığıdırsa, onda ona yalnız bir dəfə klikləyin. Bir dəfə tıklanacaq işıqlara misal olaraq hər hansı simmetriya altındakı mərkəzi işıq və ya diaqonal güzgü simmetriyası altında diaqonaldakı işıq və ya bu xətt simmetriya xəttidirsə, mərkəzdən keçən üfüqi və ya şaquli xətt üzərində işıqdır.
İşığa və onun bütün simmetrik işıqlarına kliklədikdən sonra simmetriya artırsa (məsələn, bir güzgü simmetriyası əvəzinə 2 güzgü simmetriyası), bundan sonra artan simmetriyadan istifadə edin.
Əgər lövhədə simmetriya yoxdursa, onda necə etməliyik?
Lövhədə heç bir simmetriya yoxdursa, SÖNÜLÜ işıqlardan daha çox YANILI işıqlara kliklər etməyə cəhd edə bilərsiniz. Sonra SÖNÜLÜ işıqları bir-birinə yaxınlaşdıran hərəkətlər edə bilərsiniz. Gec-tez simmetrik mövqe ortaya çıxır və sonra simmetrik kliklərlə davam edə bilərsiniz.
Son üç sual daha çox ümumi hallarla bağlı olur.
Bəzi verilən lövhə şəkli ilə nəticələnən kliklərin ardıcıllığını tapmaq üçün ümumi həll strategiyası nədir?
Bu tapmacanın tarixi və ümumi həllinin planı Vikipediya saytında verilmişdir. Daha çox istinad olunan daha bir riyazi təsvir Wolfram MathWorld saytında verilmişdir. Bu nəşrlərdə araşdırmalarımızın olub - olmadığını yoxlaya bilərsiniz.
Bəzi işıqların YANILI olması, qalanlarının SÖNÜLÜ olması ilə bağlı hər bir ilkin mövqe bütün işıqların YANILI olması ilə dəyişdirilə bilərmi? Belə deyilsə, bunu necə etmək olar? Müəyyən ölçülü lövhənin dövrünün olub-olmadığını necə bilə bilərik?
Bu suallara tənliklərin xətti cəbr sistemini tərtib edib araşdırmaqla cavab vermək olar. Bu haqda daha ətraflı yuxarıda verilən istinadlarda oxumaq olar.
Bənövşəyi işıqlar mövcud olsa, yuxarıdakı nəzəriyyə hələ də davam edərmi?
Bənövşəyi işıqlar potensial olaraq hər şeyi dəyişdirir. Yuxarıdakı hər bir ifadənin bənövşəyi işıqlar olduqda hələ də etibarlı olub-olmadığını və ya onları doğru saxlamaq üçün ifadələri necə dəyişdirəcəyini yoxlamaq lazımdır. Xətti cəbr, bənövşəyi işıqlarla lövhələri örtmək üçün kifayət qədər çevik və ümumi olardı.
Yeniliklər üçün izləyin və ya abunə olun: